Задание №12 — Нахождение точек экстремума

Решение:
Чтобы определить точку максимума заданной функции, сначала найдём её производную и приравняем полученное выражение к нулю:
$y' = 3x^2 - 12x + 9$
Решим уравнение $y' = 0$:
$3x^2 - 12x + 9 = 0$
Разделим обе части уравнения на $3$, чтобы упростить вычисления:
$x^2 - 4x + 3 = 0$
Воспользуемся теоремой Виета для поиска корней:
$\begin{cases} x_1 \cdot x_2 = 3 \\ x_1 + x_2 = 4 \end{cases}$
Отсюда получаем критические точки: $x_1 = 3$ и $x_2 = 1$.

Анализируя знаки производной на числовой прямой, видим, что при переходе через значение $x = 1$ производная меняет знак с плюса на минус. Значит, искомая точка максимума — это $x = 1$.

Ответ: 1

Источник: ФИПИ