Задание №12 — Нахождение точек экстремума

Решение:
Чтобы определить точку максимума заданной функции, сначала найдем её производную и приравняем полученное выражение к нулю:
$y' = (x^3 - 12x^2 + 36x + 11)' = 3x^2 - 24x + 36$
Решим уравнение $y' = 0$:
$3x^2 - 24x + 36 = 0$
Разделим обе части уравнения на $3$, чтобы упростить вычисления:
$x^2 - 8x + 12 = 0$
Воспользуемся теоремой Виета для поиска корней:
$\begin{cases} x_1 \cdot x_2 = 12 \\ x_1 + x_2 = 8 \end{cases}$
Отсюда получаем два критических значения: $x_1 = 6$ и $x_2 = 2$.
Проанализируем знаки производной на числовой прямой:

Исходя из схемы распределения знаков, при переходе через точку $x = 2$ производная меняет знак с плюса на минус. Значит, искомая точка максимума — это $x = 2$.

Ответ: 2

Источник: ФИПИ