Задание №13 — Кредиты

Решение:
Проанализируем условия задачи:
Начальная сумма кредита $S = 500$ тыс. рублей;
Процентная ставка $r = 30 \%$ годовых;
Срок кредитования $n = 10$ лет.
Согласно условию, процесс погашения разбит на два этапа:
1) В течение первых 5 лет основной долг ежегодно уменьшается на одну и ту же величину $x$.
2) В последующие 5 лет остаток долга также равномерно сокращается на величину $y$.
Известно, что общая сумма всех выплат банку составила 1250 тыс. рублей.
Требуется найти величину последнего платежа (в 10-й год, т. е. в 2035-м).

Так как за 10 лет долг погашен полностью, имеем уравнение:
$5x + 5y = 500$, откуда $x + y = 100$, следовательно, $x = 100 - y$.
Общая сумма выплат состоит из суммы погашения основного долга ($S$) и суммы всех начисленных процентов. Используя формулу суммы арифметической прогрессии для процентов на каждом этапе, запишем:
$S + \frac{r}{100} \cdot \frac{S + (S - 4x)}{2} \cdot 5 + \frac{r}{100} \cdot \frac{(S - 5x) + (S - 5x - 4y)}{2} \cdot 5 = 1250$
Подставим известные значения $S = 500$ и $r = 30$:
$500 + \frac{30}{100} \cdot \frac{1000 - 4x}{2} \cdot 5 + \frac{30}{100} \cdot \frac{1000 - 10x - 4y}{2} \cdot 5 = 1250$
Упростим систему уравнений:
$\left\{\begin{matrix} 500 + \frac{3}{2} (500 - 2x) + \frac{3}{2} (500 - 5x - 2y) = 1250 \quad | \cdot 2 \\ x = 100 - y \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 1000 + 3(500 - 2x) + 3(500 - 5x - 2y) = 2500 \\ x = 100 - y \end{matrix}\right.$
Раскроем скобки во втором уравнении:
$1000 + 1500 - 6x + 1500 - 15x - 6y = 2500$
$4000 - 21x - 6y = 2500$
$21x + 6y = 1500$
Подставим выражение для $x$:
$21(100 - y) + 6y = 1500$
$2100 - 21y + 6y = 1500$
$600 = 15y \Rightarrow y = 40$.
Тогда $x = 100 - 40 = 60$.
Вычислим последний платеж (за 10-й год):
$\frac{(500 - 5 \cdot 60 - 4 \cdot 40) \cdot 30}{100} + 40 = \frac{(500 - 300 - 160) \cdot 30}{100} + 40 = \frac{40 \cdot 30}{100} + 40 = 12 + 40 = 52$.

Ответ: 52 тыс. рублей

Источник: ФИПИ