Задание №13 — Кредиты

Разбор задачи:
Исходные параметры кредита:
Сумма займа $S = 1300$ тыс. рублей;
Процентная ставка $r = 20 \%$ годовых;
Срок кредитования $n = 10$ лет.
Условия погашения основного долга:
В течение первых 5 лет остаток долга уменьшается ежегодно на фиксированную величину $x$.
В последующие 5 лет остаток долга снижается ежегодно на фиксированную величину $y$.
Общий объем всех выплат банку составил 2580 тыс. рублей.
Требуется найти остаток задолженности на конец 2030 года (после 5 лет выплат).

Составим систему уравнений. Первое уравнение отражает полное погашение тела кредита за 10 лет. Второе уравнение описывает общую сумму выплат (сумма всех $x$, всех $y$ и начисленных процентов, рассчитанных по формуле арифметической прогрессии для каждого пятилетнего периода):

$\left\{\begin{matrix} 5x + 5y = 1300 \\ (5x + 5y) + \frac{20}{100} \cdot \frac{S + (S - 4x)}{2} \cdot 5 + \frac{20}{100} \cdot \frac{(S - 5x) + (S - 5x - 4y)}{2} \cdot 5 = 2580 \end{matrix}\right.$

Упростим систему, разделив первое уравнение на 5 и подставив значения:

$\left\{\begin{matrix} x + y = 260 \\ 1300 + \frac{1}{10} (2600 - 4x) \cdot 5 + \frac{1}{10} (2600 - 10x - 4y) \cdot 5 = 2580 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} x + y = 260 \\ 1300 + \frac{2600 - 4x}{2} + \frac{2600 - 10x - 4y}{2} = 2580 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} x + y = 260 \\ 1300 + 1300 - 2x + 1300 - 5x - 2y = 2580 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} x + y = 260 \\ 3900 - 7x - 2y = 2580 \end{matrix}\right.$

Выразим $x$ через $y$: $x = 260 - y$. Подставим во второе уравнение:

$3900 - 7(260 - y) - 2y = 2580$
$3900 - 1820 + 7y - 2y = 2580$
$2080 + 5y = 2580$
$5y = 500$
$y = 100$

Тогда находим $x$:
$x = 260 - 100 = 160$

Остаток долга на конец 2030 года (после первых пяти выплат):
$S - 5x = 1300 - 5 \cdot 160 = 1300 - 800 = 500$ тыс. рублей.

Ответ: 500 тыс. рублей

Источник: ФИПИ