Задание №16 — Кредиты

Разбор задачи:
Пусть $S$ — искомая сумма кредита в рублях.
Процентная ставка составляет $r = 25\%$, следовательно, повышающий коэффициент равен $k = 1 + \frac{25}{100} = 1{,}25$.
По условию кредит был погашен тремя равными платежами $x$. Общая сумма, выплаченная банку, составила $S + 104800$ рублей.

Составим таблицу изменения задолженности:

Так как за три года кредит был полностью погашен, конечное значение долга равно нулю:
$$((Sk - x)k - x)k - x = 0$$ Раскроем скобки и приведем уравнение к виду: $$Sk^3 - xk^2 - xk - x = 0$$ $$Sk^3 = x(k^2 + k + 1)$$ $$S = \frac{x(k^2 + k + 1)}{k^3}$$ Из условия о суммарной выплате имеем: $3x = S + 104800$, откуда выразим $S = 3x - 104800$.
Подставим значение $k = 1{,}25 = \frac{5}{4}$ в уравнение для $S$:
$$3x - 104800 = \frac{x \left( \left(\frac{5}{4}\right)^2 + \frac{5}{4} + 1 \right)}{\left(\frac{5}{4}\right)^3}$$ $$3x - 104800 = \frac{x \left( \frac{25}{16} + \frac{20}{16} + \frac{16}{16} \right)}{\frac{125}{64}}$$ $$3x - 104800 = \frac{x \cdot \frac{61}{16}}{\frac{125}{64}}$$ $$3x - 104800 = \frac{61x}{16} \cdot \frac{64}{125}$$ $$3x - 104800 = \frac{61x \cdot 4}{125}$$ $$3x - \frac{244x}{125} = 104800$$ Приведем к общему знаменателю: $$\frac{375x - 244x}{125} = 104800$$ $$\frac{131x}{125} = 104800$$ $$131x = 13100000$$ $$x = 100000$$ Найдем общую сумму выплат: $$3x = 3 \cdot 100000 = 300000$$

Ответ: 300000

Источник: ФИПИ