Задание №13 — Кредиты

Разбор задачи:
Введем обозначения для условий кредитования:
Начальная сумма кредита $S = 1400$ тыс. рублей;
Процентная ставка $r = 10 \%$ годовых;
Срок кредитования $n = 10$ лет.
Согласно условию, в течение первой пятилетки (с 1-го по 5-й год) основной долг ежегодно уменьшается на фиксированную величину $x$.
В последующие пять лет (с 6-го по 10-й год) долг снижается на другую фиксированную величину $y$.
Общий объем всех выплат банку составил 2120 тыс. рублей. Нам необходимо вычислить размер транзакции в 2026 году (первый год выплат).

Составим систему уравнений, основываясь на том, что сумма всех выплат складывается из погашения тела долга ($5x + 5y = S$) и начисленных процентов. Для суммирования процентов воспользуемся формулой арифметической прогрессии:
$\left\{\begin{matrix} 5x + \frac{10}{100} \cdot \frac{1400 + (1400 - 4x)}{2} \cdot 5 + 5y + \frac{10}{100} \cdot \frac{(1400 - 5x) + (1400 - 5x - 4y)}{2} \cdot 5 = 2120 \\ 5x + 5y = 1400 \end{matrix}\right.$
Упростим выражения:
$\left\{\begin{matrix} 5x + \frac{2800 - 4x}{4} + 5y + \frac{2800 - 10x - 4y}{4} = 2120 \quad | \cdot 4 \\ x + y = 280 \end{matrix}\right.$
Раскроем скобки в первом уравнении:
$\left\{\begin{matrix} 20x + 2800 - 4x + 20y + 2800 - 10x - 4y = 8480 \\ x = 280 - y \end{matrix}\right.$
Приведем подобные слагаемые:
$\left\{\begin{matrix} 6x + 16y = 2880 \\ x = 280 - y \end{matrix}\right.$
Подставим $x$ в первое уравнение:
$6(280 - y) + 16y = 2880$
$1680 - 6y + 16y = 2880$
$10y = 1200 \Rightarrow y = 120$
Находим $x$:
$x = 280 - 120 = 160$.
Выплата в первый год (2026) состоит из начисленных на всю сумму процентов и части основного долга $x$:
$P_{2026} = \frac{1400 \cdot 10}{100} + 160 = 140 + 160 = 300$ тыс. рублей.

Ответ: 300000 рублей

Источник: ФИПИ