Задание 13

Экономическая задача · 80 заданий

Задание №13
№13Лёгкое
В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 250000 рублей. Условия возврата таковы: - каждый январь долг увеличивается на r % по сравне…
Целые и дробно-рацион. ур-я
Задание №13
№13Сложное
В июне 2026 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере 4,2 млн рублей. Условия его возврата таковы: - каждый январь долг возрастает н…
Прогрессии
Задание №13
№13Лёгкое
В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 300000 рублей. Условия возврата таковы: - каждый январь долг увеличивается на r % по сравне…
Прогрессии
Задание №13
№13Сложное
В июне 2026 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере 6,6 млн рублей. Условия его возврата таковы: - каждый январь долг возрастает н…
Прогрессии
Задание №13
№13Лёгкое
Строительство нового завода стоит 100 млн рублей. Затраты на производство x тыс. единиц продукции на таком заводе равны (0,5 x² + x + 7) млн рублей в…
Целые и дробно-рацион. нер-ва
Задание №13
№13Лёгкое
В июле 2026 года Андрей планирует открыть накопительный счёт на три года. Условия по этом счету таковы: - 1 июля 2026 года Андрей помещает на счёт 819…
Прогрессии
Задание №13
№13Лёгкое
В июле 2026 года Андрей планирует открыть накопительный счёт на три года. Условия н этом счету таковы: - 1 июля 2026 года Андрей помещает на счёт 4880…
Прогрессии
Задание №13
№13Лёгкое
В июле планируется открыть вклад в банке под 20% годовых на некоторую сумму. В начале 2, 3 и 4 годов со вклада снимают одну и ту же сумму. Найдите исх…
Прогрессии
Задание №13
№13Среднее
15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 9 миллионов рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы: — 1-го числа каждого меся…
Прогрессии
Задание №13
№13Среднее
15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на 9 миллионов рублей на 36 месяцев. Условия его возврата таковы: - 1-го числа каждого месяца до…
Прогрессии
Задание №13
№13Лёгкое
Зависимость количества Q (в шт., 0 ⩽ Q ⩽ 20000) купленного у фирмы товара от цены P (в руб. за шт.) выражается формулой Q = 20000 - P. Затраты на прои…
Дроби, проценты
Задание №13
№13Лёгкое
Зависимость количества Q (в шт., 0 ⩽ Q ⩽ 15000) купленного у фирмы товара от цены P (в руб. за шт.) выражается формулой Q = 15000 - P. Затраты на прои…
Дроби, проценты

Задание №13 — Кредиты

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг увеличивается на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма выплат после полного погашения кредита на 40980 рублей больше суммы, взятой в кредит?

Правильный ответ

198600

Пояснение

Разбор задачи:
Обозначим основные параметры:
$S$ — искомая сумма кредита в рублях;
$r = 10 \%$ — годовая процентная ставка, тогда повышающий коэффициент $k = 1 + \frac{10}{100} = 1{,}1;$
Общий размер выплат по условию составляет $S + 40980$ рублей;
$x$ — фиксированный ежегодный платеж.

Составим таблицу изменения задолженности по годам:

Период (год)	Остаток с процентами	Внесенный платеж	Остаток после выплаты
1-й год	$S \cdot k$	$x$	$S \cdot k - x$
2-й год	$(S \cdot k - x) \cdot k$	$x$	$(S \cdot k - x) \cdot k - x$
3-й год	$((S \cdot k - x) \cdot k - x) \cdot k$	$x$	$((S \cdot k - x) \cdot k - x) \cdot k - x$

Так как кредит погашен за три года, конечное значение долга равно нулю. Получаем систему уравнений:
$\begin{cases} ((S \cdot k - x) \cdot k - x) \cdot k - x = 0 \\ 3x = S + 40980 \end{cases}$

Раскроем скобки в первом уравнении:
$S \cdot k^3 - x \cdot k^2 - x \cdot k - x = 0$
$x(k^2 + k + 1) = S \cdot k^3$
Выразим $x$ , используя формулу суммы геометрической прогрессии или прямую подстановку $k = \frac{11}{10}$ :
$x \cdot \frac{k^3 - 1}{k - 1} = S \cdot k^3 \Rightarrow x = S \cdot \frac{k^3(k - 1)}{k^3 - 1}$

Найдем общую сумму выплат $3x$ :
$3x = 3S \cdot \frac{(1{,}1)^3 \cdot (1{,}1 - 1)}{(1{,}1)^3 - 1} = 3S \cdot \frac{1{,}331 \cdot 0{,}1}{1{,}331 - 1} = 3S \cdot \frac{0{,}1331}{0{,}331} = \frac{3993}{3310}S$

Подставим полученное выражение во второе уравнение системы:
$\frac{3993}{3310}S = S + 40980$
$\frac{3993}{3310}S - S = 40980$
$\frac{3993S - 3310S}{3310} = 40980$
$\frac{683}{3310}S = 40980$
$683S = 40980 \cdot 3310$
$S = 60 \cdot 3310$
$S = 198600$

Ответ: 198600

Источник: ФИПИ