Задание 13

Экономическая задача · 80 заданий

Задание №13
№13Лёгкое
В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 250000 рублей. Условия возврата таковы: - каждый январь долг увеличивается на r % по сравне…
Целые и дробно-рацион. ур-я
Задание №13
№13Сложное
В июне 2026 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере 4,2 млн рублей. Условия его возврата таковы: - каждый январь долг возрастает н…
Прогрессии
Задание №13
№13Лёгкое
В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 300000 рублей. Условия возврата таковы: - каждый январь долг увеличивается на r % по сравне…
Прогрессии
Задание №13
№13Сложное
В июне 2026 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере 6,6 млн рублей. Условия его возврата таковы: - каждый январь долг возрастает н…
Прогрессии
Задание №13
№13Лёгкое
Строительство нового завода стоит 100 млн рублей. Затраты на производство x тыс. единиц продукции на таком заводе равны (0,5 x² + x + 7) млн рублей в…
Целые и дробно-рацион. нер-ва
Задание №13
№13Лёгкое
В июле 2026 года Андрей планирует открыть накопительный счёт на три года. Условия по этом счету таковы: - 1 июля 2026 года Андрей помещает на счёт 819…
Прогрессии
Задание №13
№13Лёгкое
В июле 2026 года Андрей планирует открыть накопительный счёт на три года. Условия н этом счету таковы: - 1 июля 2026 года Андрей помещает на счёт 4880…
Прогрессии
Задание №13
№13Лёгкое
В июле планируется открыть вклад в банке под 20% годовых на некоторую сумму. В начале 2, 3 и 4 годов со вклада снимают одну и ту же сумму. Найдите исх…
Прогрессии
Задание №13
№13Среднее
15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 9 миллионов рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы: — 1-го числа каждого меся…
Прогрессии
Задание №13
№13Среднее
15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на 9 миллионов рублей на 36 месяцев. Условия его возврата таковы: - 1-го числа каждого месяца до…
Прогрессии
Задание №13
№13Лёгкое
Зависимость количества Q (в шт., 0 ⩽ Q ⩽ 20000) купленного у фирмы товара от цены P (в руб. за шт.) выражается формулой Q = 20000 - P. Затраты на прои…
Дроби, проценты
Задание №13
№13Лёгкое
Зависимость количества Q (в шт., 0 ⩽ Q ⩽ 15000) купленного у фирмы товара от цены P (в руб. за шт.) выражается формулой Q = 15000 - P. Затраты на прои…
Дроби, проценты

Задание №13 — Кредиты

15-го декабря планируется взять кредит в банке на сумму 900 тыс. рублей на 11 месяцев. Условия его возврата таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на $r \%$ по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15-го числа каждого месяца с 1-го по 10-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
- 15-го числа 10-го месяца долг составит 200 тысяч рублей;
- к 15-му числу 11-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Найдите $r ,$ если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1021 тысячу рублей.

Правильный ответ

Пояснение

Решение:
Введем обозначения для условий задачи:
$S = 900$ тыс. рублей — первоначальная сумма займа;
$r$ — процентная ставка банка (в %);
$n = 11$ месяцев — срок кредитования.
Известно, что после 10-го месяца остаток задолженности равен 200 тыс. рублей.
Общий объем всех платежей составил 1021 тыс. рублей.

Составим таблицу изменения задолженности, где $x$ — фиксированная сумма, на которую уменьшается тело кредита ежемесячно в течение первых 10 месяцев:

Месяц	Остаток до начисления %	Долг с учетом %	Платеж	Остаток после выплаты
1	$S$	$S + \frac{S \cdot r}{100}$	$\frac{S \cdot r}{100} + x$	$S - x$
2	$S - x$	$(S - x) + \frac{(S - x) \cdot r}{100}$	$\frac{(S - x) \cdot r}{100} + x$	$S - 2x$
...	...	...	...	...
10	$S - 9x$	$(S - 9x) + \frac{(S - 9x) \cdot r}{100}$	$\frac{(S - 9x) \cdot r}{100} + x$	$S - 10x$
11	$200$	$200 + \frac{200 \cdot r}{100}$	$\frac{200 \cdot r}{100} + 200$	0

Найдем величину ежемесячного снижения основного долга $x$ . Так как к концу 10-го месяца осталось выплатить 200 тыс. рублей, имеем:
$900 - 10x = 200 \implies 10x = 700 \implies x = 70$ тыс. рублей.

Общая сумма выплат складывается из суммы основного долга и начисленных процентов. Сумма процентов представляет собой арифметическую прогрессию. Воспользуемся формулой для общей суммы выплат:
$S_{общ} = S + \sum \text{проценты} = 1021$
$900 + \frac{r}{100} \cdot \left( \frac{S_{1} + S_{11}}{2} \right) \cdot 11 = 1021$ Подставим известные значения $S = 900$ и остаток на последний месяц 200:
$900 + \frac{r}{100} \cdot \left( \frac{900 + 200}{2} \right) \cdot 11 = 1021$
$900 + \frac{r}{100} \cdot 550 \cdot 11 = 1021$
$5,5 \cdot 11 \cdot r = 121$
$60,5 \cdot r = 121$
$r = \frac{121}{60,5} = 2$ .

Таким образом, процентная ставка составляет 2%.

Ответ: 2

Источник: ФИПИ