Задание №12 — Нахождение точек экстремума

Ход решения:
Дана функция: $y = x^{3} + 18 x^{2} + 81 x + 23.$
Для поиска точек экстремума сначала вычислим производную данной функции:
$y' = (x^{3} + 18 x^{2} + 81 x + 23)' = 3 x^{2} + 36 x + 81.$
Приравняем полученное выражение к нулю, чтобы найти критические точки:
$3 x^{2} + 36 x + 81 = 0.$
Разделим обе части уравнения на $3$ для упрощения вычислений:
$x^{2} + 12 x + 27 = 0.$
Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$D = 12^{2} - 4 \cdot 27 = 144 - 108 = 36 = 6^{2}.$
Находим корни уравнения:
$x_{1} = \frac{-12 + 6}{2} = -3; \quad x_{2} = \frac{-12 - 6}{2} = -9.$
Проанализируем знаки производной на числовой прямой и определим промежутки возрастания и убывания функции:

Исходя из схемы, при переходе через значение $x = -9$ производная меняет знак с плюса на минус. Следовательно, искомая точка максимума: $x = -9.$

Ответ: -9

Источник: ФИПИ