Решение:
Для нахождения наименьшего значения функции на отрезке воспользуемся особенностью заданий ЕГЭ: итоговый результат должен быть представлен в виде целого числа или конечной десятичной дроби. Это означает, что иррациональное слагаемое $2\pi$, входящее в выражение функции, должно взаимно уничтожиться в процессе вычислений.

Рассмотрим структуру функции: $y = 8 \operatorname{tg} x - 8x - 2\pi + 13$. Чтобы слагаемое $-2\pi$ сократилось, необходимо подобрать такое значение $x$, при котором линейная часть $-8x$ даст $+2\pi$. Это возможно при $x = -\frac{\pi}{4}$. Проверим это значение:

$$-8 \cdot \left(-\frac{\pi}{4}\right) - 2\pi = 2\pi - 2\pi = 0$$

Теперь вычислим значение функции в этой точке:

$y\left(-\frac{\pi}{4}\right) = 8 \cdot \operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{4}\right) - 8 \cdot \left(-\frac{\pi}{4}\right) - 2\pi + 13 =$
$= 8 \cdot (-1) + 2\pi - 2\pi + 13 = -8 + 13 = 5.$

Таким образом, искомое значение функции равно 5.

Ответ: 5

Источник: ФИПИ