Задание №13 — Кредиты

Разбор задачи:
Период кредитования: $n = 10$ лет;
Процентная ставка: $r = 10 \%$ годовых; коэффициент увеличения долга $k = 1 + \frac{r}{100} = 1{,}1$.
Необходимо найти начальную сумму кредита $S$.

Предположим, что в течение первой пятилетки основной долг ежегодно уменьшается на фиксированную сумму $x$, а в последующие пять лет — на сумму $y$:

Согласно условию, совокупный объем всех выплат составляет 2090 тыс. руб. Сумма выплат складывается из тела кредита и всех начисленных процентов:
$S + ( k - 1 ) \cdot ( S + (S - x) + \dots + (S - 5 x) ) + ( k - 1 ) \cdot ( (S - 5 x - y) + \dots + (S - 5 x - 4 y) ) = 2090$
Также дано, что после выплаты в 5-й год остаток задолженности составил 800 тыс. руб.:
$S - 5 x = 800$
Используя формулу суммы арифметической прогрессии, преобразуем уравнение выплат:
$S + 0{,}1 \cdot \frac{S + (S - 5 x)}{2} \cdot 6 + 0{,}1 \cdot \frac{(S - 5 x - y) + (S - 5 x - 4 y)}{2} \cdot 4 = 2090$
Раскроем скобки и упростим выражение:
$S + 0{,}1 \cdot ( 6 S - 15 x ) + 0{,}1 \cdot ( 4 S - 20 x - 10 y ) = 2090$
$S + 0{,}6 S - 1{,}5 x + 0{,}4 S - 2 x - y = 2090$
Получаем уравнение: $2 S - 3{,}5 x - y = 2090$.
Подставим выражение $S = 800 + 5 x$:
$2 ( 800 + 5 x ) - 3{,}5 x - y = 2090$
$1600 + 10 x - 3{,}5 x - y = 2090 \Rightarrow 6{,}5 x - y = 490$.
Так как к концу 10-го года кредит полностью погашен, имеем:
$S - 5 x - 5 y = 0 \Rightarrow S = 5 x + 5 y$.
Сравним два выражения для $S$:
$5 x + 5 y = 800 + 5 x$
Отсюда находим $5 y = 800$, то есть $y = 160$.
Теперь вычислим $x$:
$6{,}5 x - 160 = 490 \Rightarrow 6{,}5 x = 650 \Rightarrow x = 100$.
Находим искомую сумму кредита:
$S = 5 \cdot 100 + 5 \cdot 160 = 500 + 800 = 1300$ тыс. руб.

Ответ: 1300 тыс. руб.

Источник: ФИПИ