Задание №12 — Нахождение наибольших и наименьших значений функции

Ход решения:
Для начала определим производную заданной функции и найдем значения аргумента, при которых она обращается в ноль:
$$y' = \left( x^{\frac{3}{2}} - 3x + 9 \right)' = \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} - 3.$$
Приравняем полученное выражение к нулю:
$$\frac{3}{2}\sqrt{x} - 3 = 0 \Rightarrow \sqrt{x} = 2 \Rightarrow x = 4.$$
Поскольку при переходе через точку $x = 4$ производная меняет знак с минуса на плюс, данная точка является точкой минимума. Вычислим значение функции в этой точке:
$y(4) = 4\sqrt{4} - 3 \cdot 4 + 9 = 8 - 12 + 9 = 5.$

Ответ: 5

Источник: ФИПИ