Задание №16 — Кредиты

Задание №16

В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на 25 % по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга.
Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года) и банку будет выплачено 375 000 рублей?

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям

Решение:
Обозначим через $S$ первоначальную сумму займа, а через $x$ — величину фиксированного ежегодного платежа. Согласно условию, процентная ставка составляет $25\%$ , следовательно, каждый год остаток задолженности умножается на коэффициент $k = 1 + \frac{25}{100} = 1{,}25$ .
Проследим за изменением суммы долга в течение четырех лет:

Период	Остаток с процентами (январь)	Платеж (руб.)	Остаток после выплаты (июль)
2025			$S$
1-й год (2026)	$k S$	$x$	$k S - x$
2-й год (2027)	$k ( k S - x )$	$x$	$k^2 S - kx - x$
3-й год (2028)	$k ( k^2 S - kx - x )$	$x$	$k^3 S - k^2x - kx - x$
4-й год (2029)	$k ( k^3 S - k^2x - kx - x )$	$x$	$k^4 S - x(k^3 + k^2 + k + 1) = 0$

Поскольку через четыре года кредит полностью погашен, конечное значение долга равно нулю:
$k^4 S - x(k^3 + k^2 + k + 1) = 0$
Используя формулу суммы геометрической прогрессии, выразим $S$ :
$S = \frac{x (k^4 - 1)}{k^4 (k - 1)}$
Подставим значение $k = 1{,}25 = \frac{5}{4}$ :
$S = \frac{(\frac{5}{4})^4 - 1}{(\frac{5}{4})^4 \cdot (\frac{5}{4} - 1)} \cdot x = \frac{\frac{625 - 256}{256}}{\frac{625}{256} \cdot \frac{1}{4}} \cdot x = \frac{369 \cdot 4}{625} \cdot x = 4x \cdot \frac{369}{625}$
В условии сказано, что общая сумма всех произведенных выплат составляет 375 000 рублей. Так как платежи были равными и вносились 4 раза, то $4x = 375\,000$ .
Вычислим искомую сумму кредита:
$S = \frac{375\,000 \cdot 369}{625} = 600 \cdot 369 = 221\,400$ рублей.

Ответ: 221400 рублей

Источник: ФИПИ

Задание №16