Задание 3

Стереометрия · 112 заданий

Задание №3
№3Лёгкое
Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Найдите объём конуса, если объём цилиндра равен 150.
Тела вращения
Задание №3
№3Среднее
Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 5. Найдите объем параллелепипеда.
Многогранники
Задание №3
№3Лёгкое
Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 2. Найдите объем параллелепипеда.
Многогранники
Задание №3
№3Среднее
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, D₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁ B₁ C₁ D₁, у которого AB = 2, AD = 10,…
Многогранники
Задание №3
№3Среднее
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, D₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁ B₁ C₁ D₁, у которого AB = 4, AD = 3,…
Многогранники
Задание №3
№3Среднее
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, A₁, B₁, D₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁ B₁ C₁ D₁, у которого AB = 5, AD = 1…
Многогранники
Задание №3
№3Среднее
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки D, B, B₁, C₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁ B₁ C₁ D₁, у которого AB = 6, AD = 6,…
Многогранники
Задание №3
№3Сложное
Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 44 √(2). Найдите п…
Тела вращения
Задание №3
№3Сложное
Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 77 √(2). Найдите п…
Тела вращения
Задание №3
№3Сложное
Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 3 √(2). Найдите пл…
Тела вращения
Задание №3
№3Лёгкое
Площадь поверхности шара равна 12. Найдите площадь большого круга шара.
Тела вращения
Задание №3
№3Среднее
Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Радиус сферы р…
Тела вращения

Задание №3 — Комбинации фигур

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности конуса равна $3 \sqrt{2} .$ Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Правильный ответ

Пояснение

Решение:
Вспомним формулы для вычисления площадей боковых поверхностей данных тел вращения. Для конуса она имеет вид $S_{бок. кон.} = \pi r l$ , а для цилиндра — $S_{бок. цил.} = 2\pi r h$ . Согласно условию задачи, высота фигур совпадает с радиусом их основания, то есть $h = r$ .

Рассмотрим осевое сечение конуса. Образующая $l$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике с катетами $r$ и $h$ . Так как $h = r$ , по теореме Пифагора получаем: $l = \sqrt{r^2 + r^2} = \sqrt{2r^2} = r\sqrt{2}$

Используя данное в условии значение площади боковой поверхности конуса, составим уравнение: $3\sqrt{2} = \pi \cdot r \cdot r\sqrt{2} \implies 3\sqrt{2} = \pi r^2 \sqrt{2}$ Отсюда следует, что величина $\pi r^2 = 3$ .

Теперь определим искомую площадь боковой поверхности цилиндра, учитывая, что $h = r$ : $S_{бок. цил.} = 2\pi r \cdot r = 2\pi r^2$ Подставив найденное ранее значение $\pi r^2 = 3$ , имеем: $S_{бок. цил.} = 2 \cdot 3 = 6$

Ответ: 6

Источник: ФИПИ