Задание №3 — Комбинации фигур

Решение:
Вспомним формулы для вычисления площадей боковых поверхностей данных тел вращения. Для конуса она имеет вид $S_{бок. кон.} = \pi r l$, а для цилиндра — $S_{бок. цил.} = 2\pi r h$. Согласно условию задачи, высота фигур совпадает с радиусом их основания, то есть $h = r$.

Рассмотрим осевое сечение конуса. Образующая $l$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике с катетами $r$ и $h$. Так как $h = r$, по теореме Пифагора получаем: $$l = \sqrt{r^2 + r^2} = \sqrt{2r^2} = r\sqrt{2}$$

Используя данное в условии значение площади боковой поверхности конуса, составим уравнение: $$3\sqrt{2} = \pi \cdot r \cdot r\sqrt{2} \implies 3\sqrt{2} = \pi r^2 \sqrt{2}$$ Отсюда следует, что величина $\pi r^2 = 3$.

Теперь определим искомую площадь боковой поверхности цилиндра, учитывая, что $h = r$: $$S_{бок. цил.} = 2\pi r \cdot r = 2\pi r^2$$ Подставив найденное ранее значение $\pi r^2 = 3$, имеем: $$S_{бок. цил.} = 2 \cdot 3 = 6$$

Ответ: 6

Источник: ФИПИ