Задание №12 — Нахождение наибольших и наименьших значений функции

Решение:
Для начала определим производную заданной функции: $$y' = \left( 9 \ln(x + 7) - 9x + 4 \right)' = \frac{9}{x + 7} - 9.$$

Найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$:
$$\frac{9}{x + 7} - 9 = 0 \implies \frac{9}{x + 7} = 9 \implies x + 7 = 1 \implies x = -6.$$

Проанализируем поведение функции на заданном отрезке $[-6,5; 0]$. Точка $x = -6$ разбивает область определения на интервалы. При переходе через неё производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, $x = -6$ является точкой максимума.

Таким образом, на промежутке $[-6,5; -6]$ функция растет, а на интервале $[-6; 0]$ — убывает. Наибольшее значение будет достигнуто именно в точке максимума:
$$y(-6) = 9 \ln(-6 + 7) - 9 \cdot (-6) + 4 = 9 \ln 1 + 54 + 4 = 0 + 54 + 4 = 58.$$

Ответ: 58

Источник: ФИПИ