Решение:

Для нахождения экстремумов функции вычислим её производную и определим критические точки, решив уравнение $y' = 0$:

$$y' = -\frac{9}{x + 5} + 9$$

Приравняем полученное выражение к нулю:

$$-\frac{9}{x + 5} + 9 = 0 \implies \frac{9}{x + 5} = 9 \implies x + 5 = 1 \implies x = -4$$

Проанализируем поведение функции на заданном отрезке $[-4{,}5; 0]$. Используя метод интервалов для производной, заметим, что при $x < -4$ производная отрицательна (функция убывает), а при $x > -4$ — положительна (функция возрастает). Следовательно, точка $x = -4$ является точкой минимума.

Наименьшее значение функции на рассматриваемом промежутке достигается именно в этой точке. Вычислим его:

$$y(-4) = -9 \cdot \ln(-4 + 5) + 9 \cdot (-4) = -9 \cdot \ln(1) - 36 = -9 \cdot 0 - 36 = -36$$

Ответ: -36

Источник: ФИПИ