Задание №12 — Нахождение наибольших и наименьших значений функции

Ход решения:

Для определения экстремумов функции вычислим её производную и найдём критические точки, решив уравнение $y' = 0$:
$$y' = \left(5 \ln(x + 9) - 5x + 40\right)' = \frac{5}{x + 9} - 5$$ Приравняем полученное выражение к нулю: $$\frac{5}{x + 9} - 5 = 0 \implies \frac{5}{x + 9} = 5 \implies x + 9 = 1 \implies x = -8$$

Проанализируем поведение функции на заданном отрезке $[-8,5; 0]$. Точка $x = -8$ разбивает область определения на интервалы. При переходе через неё производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, $x = -8$ является точкой максимума.
На промежутке $[-8,5; -8]$ функция монотонно растёт, а на промежутке $[-8; 0]$ — убывает.

Таким образом, своего наибольшего значения функция достигает в точке $x = -8$: $$y(-8) = 5 \cdot \ln(-8 + 9) - 5 \cdot (-8) + 40 = 5 \cdot \ln(1) + 40 + 40 = 0 + 40 = 40$$

Ответ: 40

Источник: ФИПИ