Задание №12 — Нахождение точек экстремума

Ход решения:
Для начала вычислим производную заданной функции по правилу дифференцирования частного и найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$: $$y' = \frac{-2x \cdot x - 1 \cdot (-x^2 - 196)}{x^2} = \frac{-2x^2 + x^2 + 196}{x^2} = \frac{196 - x^2}{x^2}.$$ Приравняв числитель к нулю, получаем: $$\frac{196 - x^2}{x^2} = 0 \implies 196 - x^2 = 0 \implies x^2 = 196 \implies x = \pm 14.$$

Проанализируем знаки производной на числовой прямой. Используя метод интервалов, заметим, что при переходе через значение $x = -14$ производная меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, искомая точка минимума — это $x = -14$.

Ответ: -14

Источник: ФИПИ