тема 11 из 12

График функции с корнем

График $y = a\sqrt{x}$ начинается в точке $(0; 0)$ и лежит только справа от оси $Oy$ : корень определён при $x \ge 0$ . Чтобы найти $a$ , возьмите точку графика с абсциссой 1, 4 или 9.

Реже в задании12На карте навыков

График функции корня
—В аналитике

Как найти a

Возьмите точку графика $(x_0; y_0)$ с полным квадратом в абсциссе: $a = \frac{y_0}{\sqrt{x_0}}$ .

При $x_0 = 1$ : $a = y_0$ . При $x_0 = 4$ : $a = \frac{y_0}{2}$ . При $x_0 = 9$ : $a = \frac{y_0}{3}$ .
$a > 0$ — график идёт вверх, $a < 0$ — вниз.

Подвигайте график корня

f(x) = \textcolor{#ea580c}{\underbrace{2}_{a}}\sqrt{x}

\textcolor{#ea580c}{a} = \frac{y_P}{\sqrt{x_P}} = \frac{2}{\sqrt{1}} = 2

Двигайте точку

P

Абсцисса — полный квадрат

Подставьте точку графика $(x_0; y_0)$ в формулу: $y_0 = a\sqrt{x_0}$ , поэтому $a = \frac{y_0}{\sqrt{x_0}}$ . Берите точку с абсциссой 1, 4 или 9: из этих чисел корень извлекается нацело, и такие точки лежат в узлах сетки. Точка с $x_0 = 2$ или $x_0 = 3$ почти никогда не лежит в узле: у $y = 2\sqrt{x}$ при $x = 2$ получаем $2\sqrt{2} \approx 2{,}83$ .

Пример

График $y = a\sqrt{x}$ проходит через точку $(4; 6)$ . Найдите $a$ .

1. $\sqrt{4} = 2$ .
2. $a = \frac{6}{2} = 3$ .

Ответ: $3$

Пересечение с прямой

Чтобы найти общие точки графиков $y = a\sqrt{x}$ и $y = kx$ , приравняйте функции. Точка $x = 0$ общая всегда. Для $x > 0$ разделите обе части на $\sqrt{x}$ .

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

На рисунке изображены графики функции видов $f \left(x\right) = a \sqrt{x}$ и $g \left(x\right) = kx ,$ пересекающиеся в точках $A$ и $B .$ Найдите абсциссу точки $B .$

Правильный ответ

Пояснение

$f(x) = a\sqrt{x}$ проходит через $(1; 5)$ : $a = 5$ . Прямая $g(x) = kx$ проходит через $(1; 1)$ : $k = 1$ .
$5\sqrt{x} = x$ . Точка $A$ — это $x = 0$ . Для $x > 0$ делим на $\sqrt{x}$ : $\sqrt{x} = 5$ .
$x = 25$ (уравнение с корнем). Ответ: 25.

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать