тема 12 из 12

Точка пересечения графиков

В точке пересечения графиков значения двух функций равны. Найдите обе формулы, приравняйте их и решите уравнение. Обычно один корень — абсцисса точки, которая видна на рисунке, а другой корень — ответ.

Реже в задании12На карте навыков

Точка пересечения графиков двух функций
—В аналитике

Как найти точку пересечения

Точка $(x_0; y_0)$ лежит на обоих графиках, поэтому $f(x_0) = g(x_0) = y_0$ .

Найдите обе формулы по точкам графиков. Видимая точка пересечения лежит на обоих графиках: используйте её для обеих формул.
Приравняйте формулы: $f(x) = g(x)$ . Уберите знаменатель и приведите уравнение к виду $ax^2 + bx + c = 0$ .
Один корень — абсцисса точки пересечения, которая видна на рисунке. Второй корень найдите по теореме Виета или по формуле корней. Ответ — абсцисса той точки, о которой спрашивают.
Ордината точки: подставьте найденный $x$ в более простую формулу, обычно в формулу прямой. Проверьте второй формулой.

Гипербола и прямая

Приравняйте формулы и умножьте обе части на $x \ne 0$ : $\frac{k}{x} = ax + b$ даёт квадратное уравнение $ax^2 + bx - k = 0$ . Один его корень — абсцисса видимой точки, второй — абсцисса искомой. Второй корень часто дробный или лежит за краем рисунка, и это обычный ответ.

Пример

Гипербола $y = \frac{4}{x}$ и прямая $y = x + 3$ пересекаются в точках $A(-4; -1)$ и $B$ . Найдите координаты точки $B$ .

1. $\frac{4}{x} = x + 3$ . Умножьте на $x \ne 0$ : $x^2 + 3x - 4 = 0$ .
2.Корни $-4$ и $1$ . Корень $-4$ — абсцисса точки $A$ , поэтому у точки $B$ абсцисса 1.
3.Ордината по формуле прямой: $1 + 3 = 4$ . Проверка по формуле гиперболы: $\frac{4}{1} = 4$ .

Ответ: $B(1; 4)$

Подвигайте графики

f(x) = \frac{4}{x}

g(x) = x + 3

1
$\frac{4}{x} = x + 3$
Приравниваем формулы.
2
$x^2 + 3x - 4 = 0$
Умножаем на $x \ne 0$ и переносим всё влево.
3
$x_A = -4$
Абсцисса видимой точки $A$ — один из корней.
4
$x_A \cdot x_B = \frac{c}{a} \;\Rightarrow\; x_B = \frac{-4}{1 \cdot \left(-4\right)} = 1$
По теореме Виета: произведение корней — свободный член, делённый на $a$ .
5
$y_B = g(1) = 4$
Ординату считаем по более простой формуле.

Ответ на вопрос «абсцисса точки B»: $1$ .

Перетащите точку

A

: она остаётся на обоих графиках. Точка

C

задаёт прямую,

V

— вершину параболы,

P

— график корня. Уравнение, второй корень и точка

B

пересчитываются сразу.

Какое уравнение получится

Графики	Уравнение	Как решать
две прямые	$k_1 x + b_1 = k_2 x + b_2$	линейное: $x = \frac{b_2 - b_1}{k_1 - k_2}$
гипербола и прямая	$\frac{k}{x} = ax + b$	умножьте на $x$ : $ax^2 + bx - k = 0$
парабола и прямая	$ax^2 + bx + c = kx + d$	перенесите всё влево: $ax^2 + (b - k)x + (c - d) = 0$
$y = a\sqrt{x}$ и $y = kx$	$a\sqrt{x} = kx$	$x = 0$ или $\sqrt{x} = \frac{a}{k}$ , то есть $x = \frac{a^2}{k^2}$ при $\frac{a}{k} > 0$

Парабола и прямая

Приравняйте формулы и перенесите всё в левую часть: $ax^2 + bx + c = kx + d$ даёт $ax^2 + (b - k)x + (c - d) = 0$ . Один корень — абсцисса видимой точки пересечения, второй найдите по теореме Виета. Если обе формулы без свободного члена, вынесите $x$ за скобку: $x = 0$ — один из корней. Обе части на $x$ не делят: так теряют корень $x = 0$ .

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

На рисунке изображены графики функции видов $f \left(x\right) = ax^{2} + bx + c$ и $g \left(x\right) = kx ,$ пересекающиеся в точках $A$ и $B .$ Найдите абсциссу точки $B .$

Правильный ответ

Пояснение

Нули функции — $0$ и $3$ , график проходит через точку $(4; 4)$ : $f(x) = ax(x - 3)$ , $4a = 4$ , $a = 1$ . Значит, $f(x) = x^2 - 3x$ (нули параболы).
Прямая $g(x) = kx$ проходит через $(1; 3)$ : $k = 3$ .
$x^2 - 3x = 3x$ , $x(x - 6) = 0$ . Корень $x = 0$ — точка $A$ , поэтому у точки $B$ абсцисса 6. Ответ: 6.

Две прямые

Приравняйте формулы прямых: $k_1 x + b_1 = k_2 x + b_2$ . Это линейное уравнение, его корень $x = \frac{b_2 - b_1}{k_1 - k_2}$ . При $k_1 \ne k_2$ точка пересечения одна, и её абсцисса — ответ.

Пример

Прямые $y = x + 4$ и $y = 2x$ пересекаются в точке $B$ . Найдите абсциссу точки $B$ .

1. $x + 4 = 2x$ .
2. $x = 4$ .

Ответ: $4$

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать