тема 5 из 12

Как найти формулу функции по графику

Каждая точка графика в узле сетки даёт уравнение на неизвестные коэффициенты. Сколько в формуле неизвестных букв, столько точек и нужно. Сначала найдите коэффициенты и запишите формулу, потом отвечайте на вопрос задачи.

Главная тема в задании12На карте навыков

Нахождение коэффициента функции по точке графика
—В аналитике

Точка графика — уравнение на коэффициенты

Если график функции $y = f(x)$ проходит через точку $(x_0; y_0)$ , то $f(x_0) = y_0$ .

Вид формулы дан в условии. Неизвестные — буквы $k$ , $a$ , $b$ , $c$ , а $x$ — переменная.
Возьмите столько точек графика в узлах сетки, сколько в формуле неизвестных.
Подставьте координаты каждой точки в формулу и найдите коэффициенты.
Ответ считайте по готовой формуле: найдите $f(x_0)$ , решите уравнение $f(x) = m$ или найдите точку пересечения двух графиков.

Найдите формулу по точкам

f(x) = kx + b

Нажимайте на узлы сетки, через которые проходит график. Нужно точек: 2, выбрано: 0.

Нажимайте на узлы сетки, через которые проходит график: каждая точка даёт уравнение на коэффициенты. Когда точек столько же, сколько неизвестных, система решается и появляется формула. Возьмите узел рядом с графиком, а не на нём: формула выйдет другой, и её пунктир пройдёт мимо графика.

Какую точку взять

Функция	Неизвестные	Удобная точка	Что она даёт
$y = kx + b$	$k$ , $b$	$(0; b)$ и ещё один узел	$b = f(0)$ , $k = \frac{\Delta y}{\Delta x}$
$y = ax^2 + bx + c$	$a$ , $b$ , $c$	$(0; c)$ , вершина, нули	$c = f(0)$ , остальное — по форме записи
$y = kx$	$k$	любой узел, кроме $(0; 0)$	$k = \frac{y_0}{x_0}$
$y = \frac{k}{x}$	$k$	любой узел	$k = x_0 \cdot y_0$
$y = a\sqrt{x}$	$a$	$x_0 = 1, 4, 9, \ldots$	$a = \frac{y_0}{\sqrt{x_0}}$ , при $x_0 = 1$ сразу $a = y_0$
$y = a^x$	$a$	$x_0 = 1$ или $x_0 = -1$	$a = f(1)$ , $\frac{1}{a} = f(-1)$
$y = \log_a x$	$a$	точка, где $y = 1$ или $y = -1$	$f(a) = 1$ , $f\left(\frac{1}{a}\right) = -1$
$y = b + \log_a x$	$a$ , $b$	$(1; b)$ и ещё один узел	$b = f(1)$ , потом $\log_a x_0 = y_0 - b$
$y = \log_a (x + 1)$	$a$	точка с $y = 1$	$a = x_0 + 1$

Только точки в узлах сетки

Точка $(x_0; y_0)$ даёт верное уравнение $f(x_0) = y_0$ , только если её координаты известны точно. Поэтому берите только точки, через которые график проходит точно: отмеченные точки и узлы сетки на графике. Точка пересечения с осью подходит, только если она тоже в узле. Точка «на глаз» между узлами, например $y \approx 2{,}5$ , даёт неверный коэффициент.

Проверьте формулу третьей точкой графика: если она не подходит, ошибка в расчёте.

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

На рисунке изображен график функции $f ( x ) = \log _{a} ( x + 1 ) .$ Найдите $f ( 7 ) .$

Правильный ответ

Пояснение

В формуле одна неизвестная $a$ , поэтому нужна одна точка. График проходит через узел $(3; 2)$ .
Подставляем: $\log_a (3 + 1) = 2$ , то есть $a^2 = 4$ и $a = 2$ (определение логарифма). Формула: $f(x) = \log_2 (x + 1)$ .
$f(7) = \log_2 8 = 3$ . Ответ: 3.

Точка с x = 0 — первой

Выбирайте порядок точек так, чтобы уравнения были простыми. Точка с $x = 0$ убирает все слагаемые с $x$ : у прямой $y = kx + b$ она сразу даёт $b$ , у параболы — $c$ .

Пример

Прямая $y = kx + b$ проходит через точки $(0; 3)$ и $(2; 7)$ . Найдите $k$ и $b$ .

1.Точка $(0; 3)$ : $k \cdot 0 + b = 3$ , то есть $b = 3$ .
2.Точка $(2; 7)$ : $2k + 3 = 7$ , $k = 2$ .

Ответ: $k = 2$ , $b = 3$

Значение функции или уравнение

Когда формула найдена, ответ считают по ней, и вид вопроса задаёт действие. «Найдите $f(5)$ » — подставьте $x = 5$ в формулу. «Найдите $x$ , при котором $f(x) = 17$ » — решите уравнение $f(x) = 17$ . «Найдите абсциссу точки $B$ » — ответ $x$ , «ординату» — ответ $y$ .

Пример

$f(x) = 2x + 3$ . Найдите $x$ , при котором $f(x) = 17$ .

1. $2x + 3 = 17$ .
2. $2x = 14$ , $x = 7$ .

Ответ: $7$

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать