тема 6 из 14

Подстановка в формулу

В задании 10 дана формула из физики или техники и значения всех величин, кроме одной. Подставьте известные числа в формулу: получится уравнение с одной неизвестной. Его решают так же, как уравнения задания 7.

Главная тема в задании10Часто в задании17На карте навыков

Подстановка в формулу
—В аналитике

План решения

Выпишите формулу, подставьте известные значения, решите уравнение относительно неизвестной величины и проверьте единицы ответа.

Найдите неизвестную величину: её называет вопрос задачи. Остальные буквы формулы — числа из условия.
Подставьте числа вместо букв, постоянные вроде $\sigma$ , $c$ или $\alpha$ тоже. Неизвестную оставьте буквой.
Решите полученное уравнение.
Если корней два, оставьте тот, который подходит по смыслу задачи.
Переведите ответ в единицы из вопроса и запишите его целым числом или конечной десятичной дробью.

Какое уравнение даёт формула

Формула в задаче	Уравнение	Как решать
$U = \frac{\varepsilon R}{R + r}$ , $v = c \cdot \frac{f - f_0}{f + f_0}$ , $\frac{1}{d_1} + \frac{1}{d_2} = \frac{1}{f}$	дробное	умножить на знаменатель
$S = v_0 t + \frac{at^2}{2}$ , $h(t) = 1{,}4 + 9t - 5t^2$	квадратное	дискриминант
$v = \sqrt{2la}$ , $l = \sqrt{\frac{Rh}{500}}$	с корнем	обе части в квадрат
$m = m_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}}$	показательное	равные показатели
$A = \alpha \nu T \log_2 \frac{p_2}{p_1}$ , $x = \alpha \frac{cm}{\gamma} \log_2 \frac{T_{\text{в}} - T_{\text{п}}}{T - T_{\text{п}}}$	логарифмическое	определение логарифма
$P = \sigma S T^4$ , $pV^{\frac{5}{3}} = \text{const}$	степенное	снять степень
$Q = mv^2 \sin^2\alpha$	тригонометрическое	таблица значений

Дробная формула

Если неизвестная стоит в знаменателе, умножьте обе части на знаменатель. Большие числа сначала сократите: разделите обе части на общий множитель.

Пример

К источнику с ЭДС $\varepsilon = 130$ В и внутренним сопротивлением $r = 1$ Ом подключают нагрузку $R$ . Напряжение на ней $U = \frac{\varepsilon R}{R + r}$ . При каком $R$ (в омах) напряжение равно 120 В?

1.Подставьте числа: $120 = \frac{130R}{R + 1}$ .
2.Умножьте обе части на $R + 1$ : $120R + 120 = 130R$ .
3. $10R = 120$ , $R = 12$ .

Ответ: $12$

Квадратное уравнение

Формулы движения с ускорением и полёта брошенного тела дают квадратное уравнение. Перенесите все слагаемые в одну часть и найдите корни через дискриминант. Время не бывает отрицательным, поэтому отрицательный корень отбросьте. Как выбрать корень, когда оба положительны или условие говорит «не менее», смотрите в темах первый момент и наибольшее значение.

Пример

Мотоциклист выезжает из города со скоростью $v_0 = 90$ км/ч и разгоняется с ускорением $a = 16$ км/ч². Расстояние до города $S = v_0 t + \frac{at^2}{2}$ , где $t$ — время в часах. Через сколько минут он удалится на 72 км?

1.Подставьте числа: $72 = 90t + 8t^2$ , то есть $8t^2 + 90t - 72 = 0$ . Разделите на 2: $4t^2 + 45t - 36 = 0$ .
2. $D = 45^2 + 4 \cdot 4 \cdot 36 = 2025 + 576 = 2601 = 51^2$ .
3. $t = \frac{-45 \pm 51}{8}$ : $0{,}75$ или $-12$ . Время положительно, поэтому $t = 0{,}75$ ч.
4.Условие просит минуты: $0{,}75 \cdot 60 = 45$ .

Ответ: $45$

Формула с корнем

Подставьте числа и возведите в квадрат обе части: число слева тоже становится квадратом.

Пример

Автомобиль разгоняется с ускорением $a$ км/ч², его скорость $v = \sqrt{2la}$ , где $l$ — путь в км. С каким ускорением нужно ехать, чтобы за 1 км разогнаться до 120 км/ч?

1.Подставьте числа: $120 = \sqrt{2 \cdot 1 \cdot a}$ .
2.Возведите обе части в квадрат: $14400 = 2a$ .
3. $a = 7200$ .

Ответ: $7200$

Показательная формула

Выразите степень и запишите обе части как степени одного основания, затем приравняйте показатели. В формуле полураспада $m = m_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}}$ за каждый период $T$ масса уменьшается вдвое.

Пример

Масса радиоактивного изотопа меняется по закону $m = m_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}}$ , где $t$ — время в минутах. Начальная масса $m_0 = 196$ мг, период полураспада $T = 4$ мин. Через сколько минут масса станет 49 мг?

1.Подставьте числа: $49 = 196 \cdot 2^{-\frac{t}{4}}$ .
2. $2^{-\frac{t}{4}} = \frac{49}{196} = \frac{1}{4} = 2^{-2}$ .
3. $-\frac{t}{4} = -2$ , $t = 8$ .

Ответ: $8$

Логарифмическая формула

Сначала посчитайте множитель перед логарифмом и найдите значение логарифма. Затем найдите аргумент по определению логарифма. Следите, какая величина стоит в числителе дроби под логарифмом, а какая в знаменателе: в одних задачах это $\frac{V_1}{V_2}$ , в других $\frac{p_2}{p_1}$ .

Пример

Работа при сжатии воздуха $A = \alpha \nu T \log_2 \frac{V_1}{V_2}$ , где $\alpha = 8{,}7$ Дж/(моль·К), $\nu = 2$ моль, $T = 300$ К, $V_1 = 120$ л. Какой объём $V_2$ (в литрах) займёт воздух, если работа равна 10 440 Дж?

1.Множитель: $8{,}7 \cdot 2 \cdot 300 = 5220$ . Тогда $10440 = 5220 \log_2 \frac{120}{V_2}$ .
2. $\log_2 \frac{120}{V_2} = 2$ , поэтому $\frac{120}{V_2} = 2^2 = 4$ .
3. $V_2 = 120 : 4 = 30$ .

Ответ: $30$

Неизвестная в степени

Выразите степень неизвестной и извлеките корень. Корень четвёртой степени из $a \cdot 10^n$ удобно извлечь, если $n$ делится на 4. Температура, масса и длина положительны, поэтому отрицательный корень не подходит.

Пример

Мощность излучения звезды $P = \sigma S T^4$ , где $\sigma = 5{,}7 \cdot 10^{-8}$ , $S = \frac{1}{16} \cdot 10^{20}$ м², $P = 9{,}12 \cdot 10^{25}$ Вт. Найдите температуру $T$ в кельвинах.

1. $T^4 = \frac{P}{\sigma S} = \frac{9{,}12 \cdot 10^{25}}{5{,}7 \cdot 10^{-8} \cdot \frac{1}{16} \cdot 10^{20}} = \frac{9{,}12 \cdot 16}{5{,}7} \cdot 10^{13} = 25{,}6 \cdot 10^{13}$ .
2.Перенесите запятую: $25{,}6 \cdot 10^{13} = 256 \cdot 10^{12}$ .
3. $T = \sqrt[4]{256} \cdot 10^3 = 4 \cdot 10^3 = 4000$ , потому что $4^4 = 256$ .

Ответ: $4000$

Дробный показатель

Если неизвестная стоит в степени $\frac{p}{q}$ , возведите обе части в обратную степень $\frac{q}{p}$ (дробная степень). Десятичный показатель сначала запишите дробью: $1{,}4 = \frac{7}{5}$ . Если объёмы стоят в двух частях, соберите их в одну степень: $\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{1{,}4} = \frac{p_2}{p_1}$ .

Пример

Для газа $pV^{\frac{5}{3}} = 6{,}4 \cdot 10^6$ . Найдите объём $V$ при $p = 2 \cdot 10^5$ Па.

1. $V^{\frac{5}{3}} = \frac{6{,}4 \cdot 10^6}{2 \cdot 10^5} = 32$ .
2.Возведите обе части в степень $\frac{3}{5}$ : $V = 32^{\frac{3}{5}} = \left(\sqrt[5]{32}\right)^3 = 2^3 = 8$ .

Ответ: $8$

Числа со степенью десяти

Число вида $a \cdot 10^n$ считают по частям: множители $a$ перемножают или делят как обычные числа, а показатели десяток складывают или вычитают (свойства степени).

Запятую в множителе переносят вместе с показателем: $25{,}6 \cdot 10^{13} = 256 \cdot 10^{12}$ . Перенос запятой на один знак вправо уменьшает показатель на 1.

Пример

Вычислите $\frac{6{,}4 \cdot 10^6}{2 \cdot 10^5}$ .

1.Множители: $6{,}4 : 2 = 3{,}2$ .
2.Десятки: $10^6 : 10^5 = 10^{6 - 5} = 10$ .
3. $3{,}2 \cdot 10 = 32$ .

Ответ: $32$

Единицы ответа

Подставляйте числа в тех единицах, которые указаны для формулы: « $t$ — время в часах», « $l$ — путь в км». Тогда и ответ выйдет в единицах формулы. Если вопрос просит другие единицы, переведите ответ в конце (минуты в часах). В бланк пишут только число, без единиц.

Пример

Автомобиль разгоняется с места с ускорением $a = 4500$ км/ч². Путь разгона до скорости $v$ км/ч равен $l = \frac{v^2}{2a}$ км. Сколько метров проедет автомобиль, пока разгонится до 90 км/ч?

1.Скорость в км/ч, ускорение в км/ч², поэтому путь выйдет в км.
2. $l = \frac{90^2}{2 \cdot 4500} = \frac{8100}{9000} = 0{,}9$ км.
3.Вопрос просит метры: $0{,}9$ км $= 900$ м.

Ответ: $900$

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать