Скрещивающиеся прямые

Найдите прямую, параллельную одной из данных и проходящую через точку другой. В многограннике это обычно ребро или диагональ грани: в кубе $BC_1 \parallel AD_1$, потому что $ABC_1D_1$ — параллелограмм. Затем найдите угол треугольника по сторонам: равносторонний треугольник даёт $60^\circ$, в других случаях — теорема косинусов или прямоугольный треугольник.

В цилиндре хорды $BC$ и $B_1C_1$, концы которых соединены образующими, параллельны и равны. Поэтому угол между $AC_1$ и $BC$ равен углу $AC_1B_1$.

Чтобы доказать, что скрещивающиеся прямые $a$ и $b$ перпендикулярны, найдите плоскость, которая проходит через $b$ и перпендикулярна $a$: $a$ должна быть перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости (признак). Тогда $a$ перпендикулярна и прямой $b$.

Две такие прямые — медианы равнобедренных треугольников с общим основанием $a$, или проекция по теореме о трёх перпендикулярах (три перпендикуляра). Эта же плоскость потом даёт и расстояние.

Пусть прямая $a$ перпендикулярна плоскости $\beta$, в которой лежит прямая $b$, и пересекает $\beta$ в точке $O$. Проведите в $\beta$ перпендикуляр $OH$ к прямой $b$. $OH \perp b$ по построению и $OH \perp a$, так как $OH$ лежит в $\beta$. Значит, $OH$ — общий перпендикуляр, и расстояние равно $OH$.

$OH$ — высота треугольника в плоскости $\beta$. Это работает, даже если $a$ — ребро, а $\beta$ — плоскость, проходящая через противоположное ребро: например, $AC \perp (SBD)$ в пирамиде с основанием-ромбом, где $SD \perp (ABC)$.