Объём отсечённой части многогранника

Если основание пирамиды совпадает с основанием призмы, а вершина лежит на другом основании, то у них общие основание и высота. Поэтому $V_{\text{пир}} = \frac13 V_{\text{пр}}$.

Так устроены пирамида $ABCDC_1$ в прямоугольном параллелепипеде и пирамида $ABCC_1$ в треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$. Объём параллелепипеда — произведение трёх его измерений (объём параллелепипеда).

Пусть три точки лежат в одной грани параллелепипеда и образуют половину этой грани, а четвёртая лежит на противоположной грани. Тогда это пирамида: основание — половина грани, высота — ребро между этими гранями. Её объём $\frac13 \cdot \frac12 V = \frac16 V$.

Для точек $A, B, C, D_1$ основание $ABC$ лежит внизу. Основание может лежать и в боковой грани: найдите грань, в которой лежат три из четырёх точек.

Часть призмы с той же высотой занимает такую же долю объёма, какую её основание занимает в основании (часть призмы). У прямоугольного параллелепипеда основанием можно считать любую пару противоположных граней.

Многогранник $ABCDA_1B_1$ — треугольная призма с основаниями $ADA_1$ и $BCB_1$ в боковых гранях и боковым ребром $AB$. Треугольник $ADA_1$ — половина грани $ADD_1A_1$, поэтому призма — половина параллелепипеда. Часть шестиугольной призмы считают так же: прямоугольник $ACDF$ занимает $\frac23$ основания.

Если основание части не лежит в грани тела, посмотрите, какие вершины тела в неё не вошли. Обычно остальная часть — пирамида. Тогда $V_{\text{части}} = V - V_{\text{пир}}$.

Многогранник $BCA_1B_1C_1$ — треугольная призма без пирамиды $A_1ABC$. Пирамида занимает $\frac13$ призмы, поэтому многогранник занимает $1 - \frac13 = \frac23$.

Пусть точки $K$, $L$, $M$ лежат на рёбрах $SA$, $SB$, $SC$ пирамиды $SABC$. Площади треугольников $SKL$ и $SAB$ с общим углом $S$ относятся как $\frac{SK \cdot SL}{SA \cdot SB}$, а высоты из $M$ и $C$ на плоскость $SAB$ — как $\frac{SM}{SC}$ (точка на ребре). Поэтому $\frac{V_{SKLM}}{V_{SABC}} = \frac{SK}{SA} \cdot \frac{SL}{SB} \cdot \frac{SM}{SC}$.

Так считают объёмы частей, на которые плоскость сечения делит пирамиду. Если часть — не треугольная пирамида, разбейте её на треугольные пирамиды или достройте до треугольной пирамиды с вершиной в точке следа (след) и вычтите лишнюю пирамиду с общим углом при этой вершине. Объём второй части — объём тела без первой.