тема 2 из 14

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $c^2 = a^2 + b^2$ . По двум сторонам теорема даёт третью: гипотенузу через сумму квадратов, катет через разность. Пифагоровы тройки вроде 3, 4, 5 дают сторону без вычислений. Теорема работает только в прямоугольном треугольнике, поэтому сначала найдите прямой угол.

Основа для заданий1 2 3 15Часто в задании18На карте навыков

Теорема Пифагора
—В аналитике

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

Гипотенуза — сторона против прямого угла, катеты — две стороны прямого угла. Если $a$ и $b$ — катеты, $c$ — гипотенуза, то $c^2 = a^2 + b^2$ .

Гипотенуза: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ .
Катет: $a = \sqrt{c^2 - b^2}$ .
Гипотенуза — самая длинная сторона прямоугольного треугольника.
В другом треугольнике теорема не верна. Сначала найдите прямой угол: высоту, диагональ прямоугольника, радиус к точке касания.

Квадраты на сторонах прямоугольного треугольника

a

3

b

4

a^2 + b^2 = 9 + 16 = 25 = c^2

c = \sqrt{25} = 5

Все стороны целые:

3

4

5

— пифагорова тройка.

На каждой стороне построен квадрат. Площадь квадрата на гипотенузе равна сумме площадей квадратов на катетах. Меняйте катеты ползунками.

Гипотенуза по двум катетам

Сложите квадраты катетов и извлеките корень: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ . Корень берут из суммы, а не из каждого слагаемого: $\sqrt{a^2 + b^2}$ не равно $a + b$ .

Пример

Катеты прямоугольного треугольника равны 20 и 21. Найдите гипотенузу.

Гипотенуза

AB

лежит против прямого угла

C

1. $AB^2 = 20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841$ .
2. $AB = \sqrt{841} = 29$ .

Ответ: $29$

Катет по гипотенузе и другому катету

Из квадрата гипотенузы вычтите квадрат известного катета: $a = \sqrt{c^2 - b^2}$ . Если катет записан корнем, его квадрат — число под корнем: $(\sqrt{51})^2 = 51$ .

Пример

В треугольнике $ABC$ угол $C$ прямой, $AB = 10$ , $BC = \sqrt{51}$ . Найдите $AC$ .

Неизвестен катет: из квадрата гипотенузы вычитают квадрат катета.

1. $AC^2 = AB^2 - BC^2 = 100 - 51 = 49$ .
2. $AC = \sqrt{49} = 7$ .

Ответ: $7$

Пифагоровы тройки

Катеты	Гипотенуза
$3$ и $4$	$5$
$5$ и $12$	$13$
$8$ и $15$	$17$
$7$ и $24$	$25$
$20$ и $21$	$29$
$9$ и $40$	$41$

Тройка, умноженная на число

Умножьте все числа тройки на одно число — получится снова тройка: $6, 8, 10$ и $9, 12, 15$ из $3, 4, 5$ . Если у сторон есть общий множитель, разделите на него, узнайте тройку и умножьте обратно.

Пример

Катеты прямоугольного треугольника равны 15 и 20. Найдите гипотенузу.

Стороны

15

20

— тройка

3, 4, 5

, умноженная на

5

1. $15 = 3 \cdot 5$ , $20 = 4 \cdot 5$ : это тройка $3, 4, 5$ , умноженная на $5$ .
2.Гипотенуза $5 \cdot 5 = 25$ . Проверка: $15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625 = 25^2$ .

Ответ: $25$

Прямой угол внутри фигуры

Прямоугольный треугольник часто нужно увидеть внутри другой фигуры. Диагональ прямоугольника — гипотенуза треугольника со сторонами прямоугольника. Высота делит треугольник на два прямоугольных (высота к основанию).

В пространстве то же: диагональ прямоугольного параллелепипеда (диагональ), образующая конуса (образующая). На координатной плоскости длина вектора — гипотенуза с катетами из координат (длина вектора).

Пример

Стороны прямоугольника $ABCD$ равны 8 и 15. Найдите его диагональ $AC$ .

Диагональ

AC

— гипотенуза прямоугольного треугольника

ACD

1.Треугольник $ACD$ прямоугольный: $\angle D = 90^\circ$ , катеты $AD = 15$ , $CD = AB = 8$ .
2. $AC = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{289} = 17$ .

Ответ: $17$

Обратная теорема: прямой угол по сторонам

Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то угол против этой стороны прямой. Так доказывают перпендикулярность: найдите три стороны треугольника и сравните $c^2$ с $a^2 + b^2$ . Если $c^2$ меньше, угол против стороны $c$ острый, если больше — тупой.

Пример

Стороны треугольника $ABC$ равны $AB = 5$ , $BC = 12$ , $AC = 13$ . Докажите, что угол $B$ прямой.

Угол

B

лежит против самой длинной стороны

AC

1.Самая длинная сторона — $AC$ , угол против неё — $B$ .
2. $AB^2 + BC^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2 = AC^2$ .
3.По обратной теореме Пифагора $\angle B = 90^\circ$ .

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать