тема 9 из 15

Угол между прямой и плоскостью и между плоскостями

Угол между прямой и плоскостью — угол между прямой и её проекцией на плоскость. Угол между плоскостями измеряют линейным углом: два перпендикуляра к линии пересечения плоскостей из одной её точки, по одному в каждой плоскости. Оба угла ищут в прямоугольном треугольнике; часто его катет — перпендикуляр к плоскости. Когда построение трудно, помогают площадь проекции и координаты.

Реже в задании15На карте навыков

Углы в пространстве
—В аналитике

Каждый угол — в прямоугольном треугольнике

Сведите угол в пространстве к углу треугольника и найдите его синус, косинус или тангенс (острый угол).

Прямая и плоскость: из точки прямой опустите перпендикуляр $PH$ на плоскость. Прямая пересекает плоскость в точке $O$ , угол — $\angle POH$ , $\sin\varphi = \frac{PH}{PO}$ .
Две плоскости: линейный угол — угол между перпендикулярами к линии пересечения, проведёнными в обеих плоскостях из одной точки.
Через теорему о трёх перпендикулярах: перпендикуляр $PH$ к одной плоскости и перпендикуляр $HK$ к линии пересечения дают линейный угол $\angle PKH$ .
Через площадь проекции: $\cos\varphi = \frac{S_{\text{пр}}}{S}$ .
Через координаты: нормали плоскостей и направляющий вектор прямой.
Угол между прямой и плоскостью и угол между плоскостями лежат от $0^\circ$ до $90^\circ$ . Если угол не табличный, ответ записывают через $\arcsin$ , $\arccos$ или $\operatorname{arctg}$ .

Прямая и плоскость: угол с проекцией

Угол между наклонной $PO$ и плоскостью — угол между $PO$ и её проекцией $HO$ , где $PH$ — перпендикуляр к плоскости. Треугольник $PHO$ прямоугольный, поэтому $\sin\varphi = \frac{PH}{PO}$ , $\operatorname{tg}\varphi = \frac{PH}{HO}$ .

Главное — доказать, куда падает перпендикуляр. Для этого найдите в плоскости две пересекающиеся прямые, перпендикулярные $PH$ (признак).

Пример

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ сторона основания равна 6, боковое ребро равно 8. Точка $N$ — середина ребра $A_1C_1$ . а) Докажите, что $B_1N$ перпендикулярна плоскости $ACC_1$ . б) Найдите угол между прямой $AB_1$ и плоскостью $ACC_1$ .

AN

— проекция

AB_1

на грань

ACC_1A_1

1.а) $B_1N$ — медиана равностороннего треугольника $A_1B_1C_1$ , поэтому $B_1N \perp A_1C_1$ . Кроме того, $B_1N \perp AA_1$ : боковое ребро перпендикулярно основанию.
2. $B_1N$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым грани $ACC_1A_1$ , значит, перпендикулярна грани. Что и требовалось доказать.
3.б) $AN$ — проекция $AB_1$ на плоскость $ACC_1$ , искомый угол — $\angle B_1AN$ , треугольник $AB_1N$ прямоугольный с прямым углом $N$ .
4. $B_1N = \frac{6\sqrt3}{2} = 3\sqrt3$ , $AB_1 = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$ .
5. $\sin\varphi = \frac{B_1N}{AB_1} = \frac{3\sqrt3}{10}$ , $\varphi = \arcsin\frac{3\sqrt3}{10}$ .

Ответ: б) $\arcsin\frac{3\sqrt3}{10}$

Синус угла через расстояние до плоскости

Если проекцию построить трудно, найдите расстояние $d$ от точки $P$ прямой до плоскости любым способом (расстояние до плоскости). Тогда $\sin\varphi = \frac{d}{PO}$ , где $O$ — точка пересечения прямой с плоскостью.

Удобно взять точку $P$ , до которой расстояние уже известно или легко считается методом объёмов.

Пример

В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром 4 найдите угол между прямой $CC_1$ и плоскостью $BDC_1$ .

CH

— расстояние от

C

до плоскости,

CC_1

— наклонная.

1.Прямая $CC_1$ пересекает плоскость $BDC_1$ в точке $C_1$ .
2.Расстояние от $C$ до плоскости $BDC_1$ : $CH = \frac{4\sqrt3}{3}$ (расчёт).
3. $\sin\varphi = \frac{CH}{CC_1} = \frac{4\sqrt3}{3} : 4 = \frac{\sqrt3}{3}$ , $\varphi = \arcsin\frac{\sqrt3}{3}$ .

Ответ: $\arcsin\frac{\sqrt3}{3}$

Две плоскости: линейный угол

Найдите прямую $\ell$ , по которой пересекаются плоскости. Возьмите на ней точку $O$ и проведите в каждой плоскости перпендикуляр к $\ell$ из точки $O$ . Угол между этими перпендикулярами — линейный угол, он и есть угол между плоскостями. Величина линейного угла не зависит от выбора точки $O$ .

Перпендикуляры к $\ell$ удобно строить как медианы равнобедренных треугольников с основанием на $\ell$ . Если линейный угол тупой, угол между плоскостями равен $180^\circ$ минус он.

Пример

В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром 4 точка $O$ — центр грани $ABCD$ . а) Докажите, что $\angle A_1OA$ — линейный угол между плоскостями $A_1BD$ и $ABC$ . б) Найдите угол между этими плоскостями.

AO \perp BD

A_1O \perp BD

: угол

A_1OA

— линейный.

1.а) Плоскости $A_1BD$ и $ABC$ пересекаются по прямой $BD$ .
2. $AO \perp BD$ : диагонали квадрата перпендикулярны. Треугольник $A_1BD$ равносторонний (стороны — диагонали граней), его медиана $A_1O$ перпендикулярна $BD$ .
3.Перпендикуляры к $BD$ из точки $O$ в двух плоскостях образуют линейный угол $A_1OA$ . Что и требовалось доказать.
4.б) Треугольник $A_1AO$ прямоугольный: $AA_1 = 4$ , $AO = 2\sqrt2$ .
5. $\operatorname{tg}\varphi = \frac{AA_1}{AO} = \frac{4}{2\sqrt2} = \sqrt2$ , $\varphi = \operatorname{arctg}\sqrt2$ .

Ответ: б) $\operatorname{arctg}\sqrt2$

Линейный угол через теорему о трёх перпендикулярах

Пусть известен перпендикуляр $PH$ из точки $P$ одной плоскости к другой плоскости. Проведите $HK$ перпендикулярно линии пересечения $\ell$ . По теореме о трёх перпендикулярах $PK \perp \ell$ (три перпендикуляра), поэтому $\angle PKH$ — линейный угол.

Треугольник $PHK$ прямоугольный: $\sin\varphi = \frac{PH}{PK}$ , $\operatorname{tg}\varphi = \frac{PH}{HK}$ . Обратная теорема работает так же: если $PK \perp \ell$ , то и проекция $HK \perp \ell$ .

Линейный угол в любой точке ребра

Угол

\varphi

60^\circ

Поворот вида

-30^\circ

Линейный угол

PKH = 60^\circ

в любой точке ребра.

\operatorname{tg} 60^\circ = \frac{PH}{KH} = \sqrt3

Из точки

P

верхней полуплоскости опущен перпендикуляр

PH

на нижнюю.

PK

HK

перпендикулярны ребру. Двигайте точку

K

по ребру, меняйте угол и поворачивайте вид.

NH \perp (ABB_1)

MN \perp BM

, поэтому

MH \perp BM

\angle NMH

— линейный угол.

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

Все рёбра правильной треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ имеют длину 6. Точки M и N – середины рёбер AA₁ и A₁C₁соответственно.
а) Докажите, что прямые BM и MN перпендикулярны.
б) Найдите угол между плоскостями BMN и ABB₁.

Решение

а) Пусть $K$ — середина $AC$ , $BK = 3\sqrt3$ . $BM^2 = 6^2 + 3^2 = 45$ , $MN^2 = 3^2 + 3^2 = 18$ , $BN^2 = BK^2 + KN^2 = 27 + 36 = 63$ .
$BM^2 + MN^2 = 63 = BN^2$ , поэтому по теореме, обратной теореме Пифагора, $\angle BMN = 90^\circ$ . Что и требовалось доказать.
б) Плоскости $BMN$ и $ABB_1$ пересекаются по прямой $BM$ . Проведём $NH \perp A_1B_1$ . $NH \perp AA_1$ , поэтому $NH \perp (ABB_1)$ , и $MH$ — проекция $MN$ .
$MN \perp BM$ , значит, по обратной теореме о трёх перпендикулярах $MH \perp BM$ . $\angle NMH$ — линейный угол.
$NH$ — половина высоты треугольника $A_1B_1C_1$ : $NH = \frac{3\sqrt3}{2}$ . $MN = 3\sqrt2$ .
$\sin\angle NMH = \frac{NH}{MN} = \frac{3\sqrt3}{2 \cdot 3\sqrt2} = \frac{\sqrt6}{4}$ . Ответ: б) $\arcsin\frac{\sqrt6}{4}$ .

Угол через площадь проекции

Если многоугольник лежит в одной плоскости, а его проекция на другую плоскость — простая фигура, то $\cos\varphi = \frac{S_{\text{пр}}}{S}$ (площадь проекции). Линейный угол строить не нужно.

Так удобно искать угол сечения с основанием: проекции вершин сечения на основание — основания перпендикуляров из этих вершин.

Пример

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания равна 4, высота равна 8. Плоскость проходит через ребро $AB$ и середины $M$ и $N$ рёбер $SC$ и $SD$ . Найдите косинус угла между этой плоскостью и плоскостью основания.

Трапеция

ABM_1N_1

— проекция сечения

ABMN

на основание.

1. $MN$ — средняя линия треугольника $SCD$ : $MN \parallel AB$ , $MN = 2$ . Сечение $ABMN$ — равнобедренная трапеция.
2.Проекции $M_1$ и $N_1$ точек $M$ и $N$ — середины $OC$ и $OD$ . Проекция сечения — трапеция $ABM_1N_1$ с основаниями 4 и 2 и высотой 3: $S_{\text{пр}} = \frac{4 + 2}{2} \cdot 3 = 9$ .
3.Пусть $P$ и $Q$ — середины $AB$ и $MN$ , $Q_1$ — проекция $Q$ . $PQ_1 = 3$ , $QQ_1 = \frac12 \cdot 8 = 4$ , поэтому высота трапеции $PQ = \sqrt{9 + 16} = 5$ и $S = \frac{4 + 2}{2} \cdot 5 = 15$ .
4. $\cos\varphi = \frac{S_{\text{пр}}}{S} = \frac{9}{15} = \frac35$ .

Ответ: $\frac35$

Координатный метод: нормали

Если плоскость задана уравнением $ax + by + cz = d$ , её нормаль — $\vec n = (a; b; c)$ (уравнение плоскости). Угол между плоскостями: $\cos\varphi = \frac{|\vec n_1 \cdot \vec n_2|}{|\vec n_1| \cdot |\vec n_2|}$ (скалярное произведение).

Угол между прямой с направляющим вектором $\vec a$ и плоскостью с нормалью $\vec n$ : $\sin\varphi = \frac{|\vec a \cdot \vec n|}{|\vec a| \cdot |\vec n|}$ . Модуль в числителе нужен: угол между прямой и плоскостью не тупой.

Пример

В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром 4 точка $M$ — середина ребра $CD$ . Найдите угол между плоскостью $A_1BM$ и плоскостью основания $ABC$ .

Плоскость

A_1BM

2x + y + 2z = 8

, основание:

z = 0

1.Начало координат — $A$ , оси по $AB$ , $AD$ , $AA_1$ . Плоскость $A_1BM$ : $2x + y + 2z = 8$ (вывод уравнения), нормаль $\vec n_1 = (2; 1; 2)$ .
2.Плоскость основания $z = 0$ , нормаль $\vec n_2 = (0; 0; 1)$ .
3. $\cos\varphi = \frac{|2 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 2 \cdot 1|}{\sqrt{4 + 1 + 4} \cdot 1} = \frac23$ , $\varphi = \arccos\frac23$ .

Ответ: $\arccos\frac23$

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать