тема 3 из 14

Табличные значения тригонометрии

Косинус и синус угла $\alpha$ — координаты точки единичной окружности: $\cos\alpha = x$ , $\sin\alpha = y$ . Значения для углов $0$ , $30^\circ$ , $45^\circ$ , $60^\circ$ , $90^\circ$ знают наизусть. У табличных углов других четвертей модуль значения тот же, а знак зависит от четверти.

Основа для заданий1 2 10 14Часто в заданиях8 17На карте навыков

Табличные значения тригонометрии
—В аналитике

Синус и косинус на единичной окружности

Единичная окружность — окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Поверните точку $(1; 0)$ на угол $\alpha$ : против часовой стрелки при $\alpha > 0$ , по часовой стрелке при $\alpha < 0$ . Получится точка $P_\alpha(x; y)$ .

$\cos\alpha = x$ — абсцисса точки $P_\alpha$ .
$\sin\alpha = y$ — ордината точки $P_\alpha$ .
$\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ при $\cos\alpha \ne 0$ , $\operatorname{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$ при $\sin\alpha \ne 0$ .
Координаты точки окружности не больше 1 по модулю: $-1 \le \sin\alpha \le 1$ , $-1 \le \cos\alpha \le 1$ .

Синус и косинус — координаты точки

30^\circ = \frac{\pi}{6}

\sin 30^\circ = y = \frac{1}{2}

\cos 30^\circ = x = \frac{\sqrt{3}}{2}

\operatorname{tg} 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3},\quad \operatorname{ctg} 30^\circ = \sqrt{3}

Точка лежит в I четверти:

x > 0

y > 0

Косинус — абсцисса точки, синус — её ордината. Двигайте точку по окружности: она останавливается на углах таблицы.

Градусы и радианы

Полный оборот — это $360^\circ$ , или $2\pi$ радиан. Поэтому $\pi = 180^\circ$ : в градусной мере вместо $\pi$ ставят $180^\circ$ , а не 3,14. Чтобы перевести градусы в радианы, умножьте их на $\frac{\pi}{180^\circ}$ : $150^\circ = \frac{150\pi}{180} = \frac{5\pi}{6}$ .

Пример

Переведите $\frac{4\pi}{3}$ в градусы.

1.Замените $\pi$ на $180^\circ$ : $\frac{4 \cdot 180^\circ}{3}$ .
2. $\frac{720^\circ}{3} = 240^\circ$ .

Ответ: $240^\circ$

Углы в градусах и радианах

Градусы	Радианы
$30^\circ$	$\frac{\pi}{6}$
$45^\circ$	$\frac{\pi}{4}$
$60^\circ$	$\frac{\pi}{3}$
$90^\circ$	$\frac{\pi}{2}$
$180^\circ$	$\pi$
$270^\circ$	$\frac{3\pi}{2}$
$360^\circ$	$2\pi$
$120^\circ$	$\frac{2\pi}{3}$
$135^\circ$	$\frac{3\pi}{4}$
$150^\circ$	$\frac{5\pi}{6}$
$210^\circ$	$\frac{7\pi}{6}$
$225^\circ$	$\frac{5\pi}{4}$
$240^\circ$	$\frac{4\pi}{3}$
$300^\circ$	$\frac{5\pi}{3}$
$315^\circ$	$\frac{7\pi}{4}$
$330^\circ$	$\frac{11\pi}{6}$

Таблица значений

Угол	sin	cos	tg	ctg
$0$	$0$	$1$	$0$	—
$30^\circ = \frac{\pi}{6}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$\sqrt{3}$
$45^\circ = \frac{\pi}{4}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$1$	$1$
$60^\circ = \frac{\pi}{3}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$
$90^\circ = \frac{\pi}{2}$	$1$	$0$	—	$0$
$180^\circ = \pi$	$0$	$-1$	$0$	—
$270^\circ = \frac{3\pi}{2}$	$-1$	$0$	—	$0$
$360^\circ = 2\pi$	$0$	$1$	$0$	—

Как запомнить синусы и косинусы

Синусы углов $0$ , $30^\circ$ , $45^\circ$ , $60^\circ$ , $90^\circ$ — это $\frac{\sqrt{0}}{2}$ , $\frac{\sqrt{1}}{2}$ , $\frac{\sqrt{2}}{2}$ , $\frac{\sqrt{3}}{2}$ , $\frac{\sqrt{4}}{2}$ . Косинусы — те же числа в обратном порядке, потому что $\cos\alpha = \sin(90^\circ - \alpha)$ (дополнительные углы).

Если сомневаетесь, посмотрите на окружность. У точки $30^\circ$ абсцисса больше ординаты, поэтому $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ больше, чем $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ .

Точки на осях

Углы $0$ , $\frac{\pi}{2}$ , $\pi$ , $\frac{3\pi}{2}$ дают точки $(1; 0)$ , $(0; 1)$ , $(-1; 0)$ , $(0; -1)$ . Косинус и синус — их координаты: $\cos\pi = -1$ , $\sin\frac{3\pi}{2} = -1$ . Прочерк в таблице значит, что значения нет: в знаменателе дроби стоит 0.

Тангенс и котангенс

Тангенс — синус, делённый на косинус. Котангенс — обратное число: $\operatorname{ctg}\alpha = \frac{1}{\operatorname{tg}\alpha}$ . $\operatorname{tg} 45^\circ = 1$ , $\operatorname{tg} 30^\circ$ меньше 1, $\operatorname{tg} 60^\circ = \sqrt{3}$ больше 1. $\operatorname{tg} 90^\circ$ не существует, потому что $\cos 90^\circ = 0$ .

Пример

$\operatorname{tg} 30^\circ$

1. $\operatorname{tg} 30^\circ = \sin 30^\circ : \cos 30^\circ = \frac{1}{2} : \frac{\sqrt{3}}{2}$ .
2. $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Подставьте значения

Замените каждую функцию её значением из таблицы. Корни обычно сокращаются: $\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1$ , $\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2}$ (действия с корнями). Ответ — целое число или конечная десятичная дробь (запись ответа).

Пример

$26\sqrt{2}\cos\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{3}$

1. $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ , $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ .
2. $26\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = 26 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = 13$ .

Ответ: $13$

Углы других четвертей

Точки $150^\circ$ и $30^\circ$ симметричны относительно оси $y$ : ордината та же, абсцисса меняет знак. Так у любого угла таблицы: модуль значения — как у угла первой четверти, а знак даёт четверть. Быстрый способ — формулы приведения. Та же симметрия даёт вторую серию корней уравнения $\sin x = a$ .

Пример

$12\sin 150^\circ\cos 120^\circ$

1.Точка $150^\circ$ лежит во II четверти, там $y > 0$ : $\sin 150^\circ = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ .
2.Точка $120^\circ$ лежит во II четверти, там $x < 0$ : $\cos 120^\circ = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2}$ .
3. $12 \cdot \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -3$ .

Ответ: $-3$

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать