Теорема косинусов

Если известны две стороны и угол между ними, третья сторона: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$. Угол лежит между данными сторонами, а искомая сторона — напротив него. Значения $\cos 30^\circ$, $\cos 45^\circ$, $\cos 60^\circ$ возьмите из таблицы.

Косинус тупого угла отрицателен: $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha$, например $\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$ (углы других четвертей). Тогда слагаемое $-2ab\cos C$ положительно, и сторона напротив тупого угла длиннее гипотенузы прямоугольного треугольника с теми же $a$ и $b$.

Выразите косинус из той же формулы: $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$. Сторона $c$ лежит напротив угла $C$, её квадрат вычитают; квадраты сторон угла складывают. Знак косинуса совпадает со знаком $a^2 + b^2 - c^2$: если $c^2 < a^2 + b^2$, угол острый, если $c^2 = a^2 + b^2$ — прямой, если $c^2 > a^2 + b^2$ — тупой. Против большей стороны лежит больший угол, поэтому вид треугольника даёт угол напротив наибольшей стороны.

Синус угла треугольника положителен. Его находят из основного тригонометрического тождества: $\sin C = \sqrt{1 - \cos^2 C}$. Синус нужен для площади $\frac{1}{2}ab\sin C$ и для теоремы синусов.

Если искомая сторона $x$ прилежит к данному углу $A$, запишите теорему для стороны $a$ напротив угла: $a^2 = b^2 + x^2 - 2bx\cos A$. Это квадратное уравнение относительно $x$.

У уравнения бывает два положительных корня, и каждому соответствует свой треугольник. Нужный корень выбирают по условию: по виду другого угла, по другой стороне, по положению точек на окружности. Вид угла проверьте по знаку $a^2 + b^2 - c^2$.

Медиана $m_c$, проведённая к стороне $c$: $m_c^2 = \frac{2a^2 + 2b^2 - c^2}{4}$. Чтобы её вывести, удвойте медиану: треугольник достроится до параллелограмма со сторонами $a$, $b$ и диагоналями $c$ и $2m_c$. В прямоугольном треугольнике $c^2 = a^2 + b^2$, и формула даёт медиану к гипотенузе $m_c = \frac{c}{2}$.

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон: $d_1^2 + d_2^2 = 2a^2 + 2b^2$. Соседние углы параллелограмма дают в сумме $180^\circ$, их косинусы противоположны, поэтому $d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\alpha$ и $d_2^2 = a^2 + b^2 + 2ab\cos\alpha$. В пирамиде это равенство работает для медианы грани или сечения: если $O$ — середина $BD$, то $SB^2 + SD^2 = 2SO^2 + 2OB^2$.