тема 26 из 26

Координатный метод в планиметрии

Если в фигуре есть прямой угол, задачу можно решить вычислением. Оси идут по сторонам прямого угла, точки получают координаты. Длины находят по формуле расстояния, точки пересечения — из системы уравнений прямых. В решении опишите систему координат и выпишите координаты точек.

Реже в задании18На карте навыков

Координаты в планиметрии
—В аналитике

Оси по прямому углу, дальше — формулы

Введите систему координат, найдите координаты нужных точек и считайте длины и пересечения по формулам.

Начало координат — в вершине прямого угла, оси — по его сторонам. Запишите систему координат в решении.
Середина отрезка — полусумма координат концов. Точка, которая делит отрезок в отношении $m : n$ , — по доле $\frac{m}{m + n}$ от его начала.
Длина отрезка: $\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ .
Прямая через две точки: $y = kx + b$ , $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ , вертикальная прямая — $x = x_0$ . Точка пересечения прямых — решение системы их уравнений.
Окружность с центром $(a; b)$ и радиусом $R$ : $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$ (уравнение окружности).

Оси по сторонам прямого угла

Оси проводят по двум перпендикулярным прямым фигуры: по катетам прямоугольного треугольника, по сторонам прямоугольника или квадрата, по диагоналям ромба. Начало координат — в их общей точке. Тогда координаты вершин равны длинам сторон, а нули упрощают уравнения.

Середина отрезка с концами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ : $\left(\frac{x_1 + x_2}{2}; \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$ . Если точка $K$ делит отрезок $AB$ в отношении $AK : KB = m : n$ , каждая её координата равна координате $A$ плюс $\frac{m}{m + n}$ разности координат $B$ и $A$ .

Пример

В прямоугольнике $ABCD$ известно: $AB = 6$ , $AD = 10$ . Точка $E$ лежит на стороне $AD$ , $AE : ED = 2 : 3$ , точка $F$ — середина стороны $CD$ . Введите систему координат и найдите координаты точек $E$ и $F$ .

Начало координат —

A

, ось

Ox

по

AD

, ось

Oy

по

AB

1.Начало координат — $A$ , ось $Ox$ по лучу $AD$ , ось $Oy$ по лучу $AB$ : $A(0; 0)$ , $B(0; 6)$ , $C(10; 6)$ , $D(10; 0)$ .
2. $AE = \frac{2}{2 + 3} \cdot 10 = 4$ , поэтому $E(4; 0)$ .
3. $F$ — середина $CD$ : $F\left(\frac{10 + 10}{2}; \frac{6 + 0}{2}\right) = (10; 3)$ .

Ответ: $E(4; 0)$ , $F(10; 3)$

Длина отрезка по координатам

Длина отрезка с концами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ равна $\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ . Это длина вектора с теми же концами: теорема Пифагора, в которой катеты — разности координат.

Длины дают и углы: если $AK^2 = AM^2 + MK^2$ , угол $M$ прямой по обратной теореме Пифагора. Координаты с буквами вместо чисел доказывают равенство для любой фигуры: так решают пункт а).

Пример

В квадрате $ABCD$ со стороной 4 точка $M$ — середина стороны $CD$ , точка $K$ лежит на стороне $BC$ , $BK : KC = 3 : 1$ . Докажите, что угол $AMK$ прямой.

Начало координат —

A

, оси по сторонам

AB

AD

1.Начало координат — $A$ , ось $Ox$ по $AB$ , ось $Oy$ по $AD$ : $A(0; 0)$ , $B(4; 0)$ , $C(4; 4)$ , $D(0; 4)$ .
2. $M$ — середина $CD$ : $M(2; 4)$ . $BK = \frac{3}{4} \cdot 4 = 3$ : $K(4; 3)$ .
3. $AM^2 = 2^2 + 4^2 = 20$ , $MK^2 = (4 - 2)^2 + (3 - 4)^2 = 5$ , $AK^2 = 4^2 + 3^2 = 25$ .
4. $AM^2 + MK^2 = 25 = AK^2$ , поэтому по обратной теореме Пифагора $\angle AMK = 90^\circ$ .

Уравнение прямой и точка пересечения

Прямая через точки $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ при $x_1 \ne x_2$ : $y = kx + b$ , где $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ , а $b$ находят подстановкой одной из точек. При $x_1 = x_2$ прямая вертикальная: $x = x_1$ .

Точка пересечения двух прямых — решение системы их уравнений. Чтобы найти, где прямая выходит из фигуры, подставьте уравнение стороны, например $x = 0$ для стороны на оси $Oy$ . Потом проверьте, что точка лежит на самой стороне, а не на её продолжении.

Начало координат —

C

P

— пересечение прямых

AN

KM

, прямая

BP

выходит из треугольника в точке

Q

на стороне

AC

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

В прямоугольном треугольнике $ABC$ точки $M$ и $N$ — середины гипотенузы $AB$ и катета $BC$ соответственно, точка $K$ отмечена на катете $BC$ так, что $CK : KB = 1 : 3 .$
а) Докажите, что $AN = 2 KM .$
б) Пусть $P$ — точка пересечения отрезков $AN$ и $KM .$ Найдите длину отрезка прямой $BP ,$ заключённого внутри треугольника $ABC ,$ если $AC = 6 ,$ $BC = 8 .$

Решение

а) Начало координат — вершина прямого угла $C$ , оси по катетам: $C(0; 0)$ , $B(a; 0)$ , $A(0; b)$ , где $a = BC$ , $b = AC$ .
$N\left(\frac{a}{2}; 0\right)$ — середина $BC$ , $M\left(\frac{a}{2}; \frac{b}{2}\right)$ — середина $AB$ . $CK = \frac{1}{4}a$ , поэтому $K\left(\frac{a}{4}; 0\right)$ .
$AN^2 = \frac{a^2}{4} + b^2$ , $KM^2 = \left(\frac{a}{2} - \frac{a}{4}\right)^2 + \frac{b^2}{4} = \frac{a^2}{16} + \frac{b^2}{4} = \frac{1}{4}AN^2$ . Значит, $AN = 2KM$ .
б) $a = 8$ , $b = 6$ : $A(0; 6)$ , $B(8; 0)$ , $N(4; 0)$ , $M(4; 3)$ , $K(2; 0)$ .
Прямая $AN$ : $k = \frac{0 - 6}{4 - 0} = -\frac{3}{2}$ , $y = -\frac{3}{2}x + 6$ , то есть $3x + 2y = 12$ . Прямая $KM$ : $k = \frac{3 - 0}{4 - 2} = \frac{3}{2}$ , $y = \frac{3}{2}x - 3$ , то есть $3x - 2y = 6$ .
Сложите уравнения: $6x = 18$ , $x = 3$ , $y = 1{,}5$ . Итак, $P(3; 1{,}5)$ .
Прямая $BP$ : $k = \frac{1{,}5 - 0}{3 - 8} = -0{,}3$ , $y = -0{,}3(x - 8)$ . Внутри треугольника она идёт от $B$ до стороны $AC$ , то есть до прямой $x = 0$ : $y = 2{,}4$ . Точка $Q(0; 2{,}4)$ лежит на отрезке $AC$ , так как $0 < 2{,}4 < 6$ .
$BQ = \sqrt{8^2 + 2{,}4^2} = \sqrt{69{,}76} = \frac{4\sqrt{109}}{5}$ . Ответ: б) $\frac{4\sqrt{109}}{5}$ .

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать