тема 20 из 26

Отношение площадей

Площади треугольников сравнивают без вычисления самих площадей. У треугольников с общей высотой площади относятся как основания, у треугольников с равным углом — как произведения сторон при этом угле, у подобных — как $k^2$ . Обычно все части фигуры выражают через площадь всей фигуры $S$ , а затем находят нужное отношение.

Реже в задании18На карте навыков

Отношение площадей при разбиении фигуры
—В аналитике

Отношение площадей без вычисления площадей

Сравнивайте площади через общую высоту, равный угол или подобие.

Общая высота: если $D$ лежит на $BC$ , то $\frac{S_{ABD}}{S_{ADC}} = \frac{BD}{DC}$ . Медиана делит треугольник на два треугольника с равными площадями.
Равный угол: если $M$ лежит на луче $AB$ , $N$ — на луче $AC$ , то $\frac{S_{AMN}}{S_{ABC}} = \frac{AM \cdot AN}{AB \cdot AC}$ .
Подобные треугольники: $\frac{S_1}{S_2} = k^2$ .
Трапеция: диагонали делят её на четыре треугольника, $S_{AOB} = S_{COD}$ , $\frac{S_{BOC}}{S_{AOD}} = k^2$ , $S_{AOB}^2 = S_{BOC} \cdot S_{AOD}$ .
Метод: обозначьте площадь всей фигуры $S$ . Идите от фигуры к треугольнику и от треугольника к его части, выражая каждую часть как долю $S$ . Площадь четырёхугольника — сумма или разность площадей треугольников.

Общая высота: площади относятся как основания

Если у двух треугольников общая вершина, а их основания лежат на одной прямой, высота из этой вершины у них общая. Тогда $\frac{S_1}{S_2} = \frac{a_1}{a_2}$ : площади относятся как основания. Отрезок $AD$ с концом $D$ на стороне $BC$ делит площадь треугольника $ABC$ в отношении $BD : DC$ , а медиана делит её пополам.

Отношение оснований часто дают подобие или свойство биссектрисы. Двигайтесь цепочкой: от всей фигуры к треугольнику, от треугольника к его части. Диагональ делит площадь параллелограмма и ромба пополам.

Отрезок из вершины делит площадь как основание

\frac{S_{ABD}}{S_{ADC}} = \frac{BD}{DC} = \frac{3}{7}

S_{ABD} = \frac{3}{10} \cdot 25 = 7{,}5

S_{ADC} = \frac{7}{10} \cdot 25 = 17{,}5

Отрезок

AD

делит треугольник

ABC

площади 25 на два треугольника с общей высотой из вершины

A

. Тяните точку

D

по стороне

BC

и вершину

A

вдоль

BC

BP = PQ = QD

; окружность вписана в пятиугольник

CKPQL

и в треугольник

BCD

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

В ромбе $ABCD$ точки $K$ и $L$ - середины сторон $BC$ и $CD$ соответственно. Прямые $AK$ и $AL$ пересекают диагональ $BD$ в точках $P$ и $Q$ соответственно.
а) Докажите, что $S_{APQ} = S_{BKP} + S_{DLQ}$ .
б) Известно, что в пятиугольник $CKPQL$ можно вписать окружность. Найдите ее радиус, если сторона ромба $ABCD$ равна $12 \sqrt{5} .$

Решение

а) $BK \parallel AD$ , поэтому треугольники $BKP$ и $DAP$ подобны: $\frac{BP}{PD} = \frac{BK}{AD} = \frac12$ , и $\frac{KP}{PA} = \frac12$ . Так же $\frac{DQ}{QB} = \frac12$ . Значит, $BP = PQ = QD = \frac13 BD$ .
Пусть $S$ — площадь ромба, тогда $S_{ABD} = \frac{S}{2}$ . Треугольники $ABP$ , $APQ$ , $AQD$ имеют общую высоту из $A$ и равные основания: площадь каждого $\frac{S}{6}$ .
Треугольники $BKP$ и $BPA$ имеют общую высоту из $B$ , $KP : PA = 1 : 2$ : $S_{BKP} = \frac12 S_{ABP} = \frac{S}{12}$ . Так же $S_{DLQ} = \frac{S}{12}$ .
$S_{BKP} + S_{DLQ} = \frac{S}{6} = S_{APQ}$ .
б) Окружность лежит в треугольнике $BCD$ и касается прямых $BC$ , $CD$ и $BD$ , поэтому это вписанная окружность треугольника $BCD$ . Тот же пункт для ромба со стороной $6\sqrt5$ решён в разделе окружность, вписанная в многоугольник: там $r = 4$ .
Условие о вписанной окружности задаёт форму ромба. Ромб со стороной $12\sqrt5$ подобен тому ромбу с коэффициентом 2, поэтому радиус вдвое больше: $r = 2 \cdot 4 = 8$ . Ответ: б) 8.

Равный угол: произведения сторон

Если угол одного треугольника равен углу другого, их площади относятся как произведения сторон, которые образуют эти углы: $\frac{S_{AMN}}{S_{ABC}} = \frac{AM \cdot AN}{AB \cdot AC}$ . Причина: $S = \frac12 ab \sin\alpha$ , и синус равного угла сокращается.

Чаще всего угол общий: точки $M$ и $N$ лежат на сторонах $AB$ и $AC$ . Так находят площадь треугольника, который отрезок отсекает от угла, когда отрезок не параллелен третьей стороне и подобия нет.

Треугольники с общим углом

\frac{S_{AMN}}{S_{ABC}} = \frac{AM \cdot AN}{AB \cdot AC} = \frac{4 \cdot 3}{8 \cdot 6} = \frac{1}{4}

S_{AMN} = \frac{1}{4} \cdot 12 = 3

Треугольник

ABC

с площадью 12 и треугольник

AMN

имеют общий угол

A

. Тяните точки

M

N

по сторонам угла.

AB = BD

BE \perp AD

CK \perp AD

, поэтому

BE \parallel CK

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

На стороне $BC$ треугольника $ABC$ отмечена точка $D$ так, что $AB = BD .$ Биссектриса $BF$ треугольника $ABC$ пересекает прямую $AD$ в точке $E .$ Из точки $C$ на прямую $AD$ опущен перпендикуляр $CK .$
а) Докажите, что $AB : BC = AE : EK .$
б) Найдите отношение площади треугольника $ABE$ к площади четырехугольника $CDEF ,$ если $BD : DC = 5 : 2 .$

Решение

а) Треугольник $ABD$ равнобедренный, $BE$ — биссектриса угла при вершине, поэтому она же медиана и высота: $AE = ED$ , $BE \perp AD$ .
$BE \perp AD$ и $CK \perp AD$ , значит, $BE \parallel CK$ . Треугольники $DBE$ и $DCK$ подобны: вертикальные углы при $D$ и прямые углы при $E$ и $K$ . Поэтому $\frac{DE}{DK} = \frac{DB}{DC}$ .
Тогда $\frac{DE}{EK} = \frac{DE}{DE + DK} = \frac{DB}{DB + DC} = \frac{BD}{BC}$ . Подставим $DE = AE$ и $BD = AB$ : $\frac{AE}{EK} = \frac{AB}{BC}$ .
б) Пусть $BD = AB = 5$ , $DC = 2$ , $BC = 7$ , $S = S_{ABC}$ . По свойству биссектрисы $\frac{AF}{FC} = \frac{AB}{BC} = \frac57$ , то есть $AF = \frac{5}{12} AC$ .
Треугольники $ADC$ и $ABC$ имеют общую высоту из $A$ : $S_{ADC} = \frac{DC}{BC} S = \frac27 S$ , $S_{ABD} = \frac57 S$ .
Треугольники $AEF$ и $ADC$ имеют общий угол $A$ : $\frac{S_{AEF}}{S_{ADC}} = \frac{AE \cdot AF}{AD \cdot AC} = \frac12 \cdot \frac{5}{12} = \frac{5}{24}$ , $S_{AEF} = \frac{5}{24} \cdot \frac27 S = \frac{5}{84} S$ .
$S_{CDEF} = S_{ADC} - S_{AEF} = \frac{24}{84} S - \frac{5}{84} S = \frac{19}{84} S$ .
$BE$ — медиана треугольника $ABD$ : $S_{ABE} = \frac12 \cdot \frac57 S = \frac{30}{84} S$ . Отношение $S_{ABE} : S_{CDEF} = 30 : 19$ . Ответ: б) $\frac{30}{19}$ .

Подобные треугольники: квадрат коэффициента

Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия: $\frac{S_1}{S_2} = k^2$ (площади подобных треугольников). Сначала докажите подобие, найдите $k$ по паре сходственных сторон, потом возведите его в квадрат.

Сходственные стороны лежат против равных углов. Если их длины выражены через угол, то и $k$ — выражение с синусом или косинусом, а $k^2$ упрощают формулами двойного угла.

MA = ML = MB

LB = LC

: углы при основаниях обоих треугольников равны половине угла

A

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

В прямоугольном треугольнике $ABC$ точки $M$ и $N$ - середины гипотенузы $AB$ и катета $BC$ соответственно. Биссектриса угла $BAC$ пересекает прямую $MN$ в точке $L .$
а) Докажите, что треугольники $AML$ и $BLC$ подобны.
б) Найдите отношение площадей этих треугольников, если $\cos \angle BAC = \frac{7}{25} .$

Решение

а) $MN$ — средняя линия: $MN \parallel AC$ . Угол $C$ прямой, поэтому прямая $MN$ перпендикулярна $BC$ и проходит через середину $N$ : $LB = LC$ .
Пусть $\angle BAC = 2\alpha$ . $\angle MLA = \angle LAC = \alpha$ как накрест лежащие при $ML \parallel AC$ , и $\angle MAL = \alpha$ . Треугольник $AML$ равнобедренный: $ML = AM = MB$ .
Медиана $LM$ треугольника $ALB$ равна половине $AB$ , поэтому $\angle ALB = 90^\circ$ . Тогда $\angle ABL = 90^\circ - \alpha$ , $\angle ABC = 90^\circ - 2\alpha$ , $\angle LBC = \alpha$ .
Треугольники $AML$ и $BLC$ равнобедренные, углы при их основаниях равны $\alpha$ . Они подобны по двум углам.
б) Основания $AL$ и $BC$ сходственные. Из треугольника $ALB$ : $AL = AB \cos\alpha$ ; из треугольника $ABC$ : $BC = AB \sin 2\alpha$ . $k = \frac{BC}{AL} = \frac{\sin 2\alpha}{\cos\alpha} = 2\sin\alpha$ .
$k^2 = 4\sin^2\alpha = 2(1 - \cos 2\alpha) = 2\left(1 - \frac{7}{25}\right) = \frac{36}{25}$ . Ответ: б) $S_{AML} : S_{BLC} = 25 : 36$ .

Трапеция: четыре треугольника при диагоналях

Диагонали трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $O$ и делят её на четыре треугольника. Треугольники $BOC$ и $DOA$ подобны с коэффициентом $k = \frac{BC}{AD}$ , поэтому $\frac{S_{BOC}}{S_{AOD}} = k^2$ .

Треугольники $ABD$ и $ACD$ имеют общее основание $AD$ и равные высоты, их площади равны. Без общей части $AOD$ остаётся $S_{AOB} = S_{COD}$ . Треугольники $BOC$ и $AOB$ имеют общую высоту из $B$ : $\frac{S_{BOC}}{S_{AOB}} = \frac{CO}{OA} = k$ . Отсюда $S_{AOB}^2 = S_{BOC} \cdot S_{AOD}$ .

Площади четырёх треугольников трапеции

BC

3

S_{AOB} = S_{COD} = 4

\frac{S_{BOC}}{S_{AOD}} = k^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}

S_{AOB}^2 = S_{BOC} \cdot S_{AOD}: \quad 4^2 = 2 \cdot 8

Диагонали делят трапецию с основанием

AD = 6

и высотой 4 на четыре треугольника. Боковые треугольники закрашены одним цветом. Тяните вершину

C

или меняйте

BC

ползунком.

Окружность построена на

AD

как на диаметре,

\angle AMD = 90^\circ

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

В трапеции $ABCD$ угол $BAD$ прямой. Окружность, построенная на большем основании $AD$ как на диаметре, пересекает меньшее основание $BC$ в точках $C$ и $M .$
а) Докажите, что $\angle BAM = \angle CAD .$
б) Диагонали трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $O .$ Найдите площадь треугольника $AOB ,$ если $AB = \sqrt{10} ,$ а $BC = 2 BM .$

Решение

а) $\angle AMD = 90^\circ$ : он опирается на диаметр. Угол $BAD$ прямой, поэтому $\angle BAM = 90^\circ - \angle MAD = \angle ADM$ .
$\angle ADM = \angle ACM$ как вписанные углы на одной дуге $AM$ , а $\angle ACM = \angle CAD$ как накрест лежащие при $BC \parallel AD$ . Значит, $\angle BAM = \angle CAD$ .
б) Пусть $BM = x$ , $AD = d$ . Высота $MH$ равна $AB = \sqrt{10}$ , $AH = x$ . В прямоугольном треугольнике $AMD$ высота к гипотенузе: $MH^2 = AH \cdot HD$ , то есть $10 = x(d - x)$ .
Для точки $C$ так же: $BC = 2x$ , $10 = 2x(d - 2x)$ . Отсюда $d - x = 2d - 4x$ , $d = 3x$ , $10 = 2x^2$ , $x = \sqrt5$ . $BC = 2\sqrt5$ , $AD = 3\sqrt5$ .
$BO : OD = BC : AD = 2 : 3$ , то есть $BO = \frac25 BD$ .
$S_{ABD} = \frac12 \cdot \sqrt{10} \cdot 3\sqrt5 = \frac{15\sqrt2}{2}$ . Треугольники $AOB$ и $ABD$ имеют общую высоту из $A$ : $S_{AOB} = \frac25 \cdot \frac{15\sqrt2}{2} = 3\sqrt2$ . Ответ: б) $3\sqrt2$ .

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать