Задание №3 — Комбинации фигур

Решение:

Рассмотрим геометрические связи между вписанным шаром и цилиндром:
1) Высота данного цилиндра $H$ совпадает с диаметром вписанного в него шара, то есть $H = 2R$, где $R$ — радиус шара.
2) Основание цилиндра имеет тот же радиус $R$, что и шар.
3) Площадь поверхности шара вычисляется по формуле: $S_{шара} = 4\pi R^2$. Нам необходимо найти это значение.
4) Полная поверхность цилиндра складывается из площади боковой поверхности и площадей двух оснований:
$$S_{цил} = S_{бок} + 2S_{осн} = 2\pi R \cdot H + 2\pi R^2$$ Подставим $H = 2R$ в формулу: $$S_{цил} = 2\pi R \cdot (2R) + 2\pi R^2 = 4\pi R^2 + 2\pi R^2 = 6\pi R^2$$ По условию задачи эта площадь равна 30:
$6\pi R^2 = 30 \Rightarrow \pi R^2 = 5$.
Теперь вычислим искомую площадь поверхности шара:
$S_{шара} = 4\pi R^2 = 4 \cdot 5 = 20$.

Ответ: 20

Источник: ФИПИ