Задание №1 — Вписанная окружность

Решение:
Воспользуемся ключевым свойством: если в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы длин его противолежащих сторон будут одинаковыми. Исходя из этого, имеем равенство: $AB + CD = AD + BC$.
Чтобы вычислить периметр $ABCD$, сложим длины всех его сторон: $$P = AB + BC + CD + AD$$ Заметим, что это выражение можно перегруппировать: $$P = (AB + CD) + (BC + AD)$$ Так как суммы пар сторон равны, периметр в два раза больше суммы одной пары известных сторон: $$P = 2 \cdot (AB + CD) = 2 \cdot (13 + 18) = 2 \cdot 31 = 62.$$

Ответ: 62

Источник: ФИПИ