Числа и их свойства (теория чисел) · 29 заданий
- Задание №20№20Сложное
а) Можно ли представить число 2014 в виде суммы двух различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова? б) Можно ли представить число 199 в ви…
Целые числа, делимость
- Задание №20№20Сложное
а) Можно ли представить число 2032 в виде суммы двух различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова? б) Можно ли представить число 799 в ви…
Целые числа, делимость
- Задание №20№20Сложное
а) Можно ли представить число 2043 в виде суммы двух различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова? б) Можно ли представить число 599 в ви…
Целые числа, делимость
- Задание №20№20Лёгкое
Семь различных натуральных чисел таковы, что никакие два не имеют общегоделителя, большего 1. а) Может ли сумма всех семи чисел быть равна 50? б) Може…
Целые числа, делимость
- Задание №20№20Лёгкое
Восемь различных натуральных чисел таковы, что никакие два не имеют общего делителя, большего 1. а) Может ли сумма всех восьми чисел быть равна 65? б)…
Целые числа, делимость
- Задание №20№20Среднее
На доске написано 20 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых больше 10, но не превосходит 50. Вместо некоторых чисел (возможно…
Целые числа, делимость
- Задание №20№20Среднее
На доске написано 20 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых больше 5, но не превосходит 45. Вместо некоторых чисел (возможно о…
Целые числа, делимость
- Задание №20№20Среднее
На доске было написано 20 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых больше 10, но не превосходит 50. Вместо некоторых чисел (возм…
Целые числа, делимость
- Задание №20№20Среднее
На доске было написано 20 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых не превосходит 50. Вместо некоторых чисел (возможно, одного)…
Целые числа, делимость
- Задание №20№20Сложное
На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх, четырёх, пяти или шести чисел…
Целые числа, делимость
- Задание №20№20Сложное
На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх, четырёх, пяти или шести чисел…
Целые числа, делимость
- Задание №20№20Среднее
На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх, четырёх, пяти или шести чисел…
Целые числа, делимость
Деревянную линейку, длина которой выражается целым числом сантиметров, разрезают на куски. За один ход можно взять один или несколько кусков линейки, положить их друг на друга и разрезать каждый из них на две части, длины которых выражаются целым числом сантиметров.
а) Можно ли за четыре хода разрезать линейку длиной 16 см на куски длиной 1 см?
б) Можно ли за пять ходов разрезать линейку длиной 100 см на куски длиной 1 см?
в) Какое наименьшее число ходов нужно сделать, чтобы разрезать линейку длиной 200 см на куски длиной 1 см?
Решение
Решение:
а) Да, это возможно. Опишем последовательность действий:
1. Первым действием делим линейку пополам, отрезав 8 см. Получаем 2 куска по 8 см.
2. Вторым действием отрезаем от обоих имеющихся кусков по 4 см. Теперь у нас 4 части по 4 см.
3. Третьим действием делим каждую часть еще раз, отрезая по 2 см. Выходит 8 кусков по 2 см.
4. Четвертым действием отрезаем от всех восьми кусков по 1 см. В итоге получаем искомые 16 единичных отрезков по 1 см.
б) Нет, это неосуществимо. При каждом разрезании (ходе) любая из уже имеющихся частей может превратиться максимум в две. Это означает, что общее число фрагментов после каждого хода увеличивается не более чем вдвое. Таким образом, за 5 ходов можно получить максимум 25=32 части. Поскольку нам требуется 100 частей, пяти ходов недостаточно.
в) Используя логику из предыдущего пункта, заметим, что за 7 ходов можно получить максимум 27=128 частей. Так как нам необходимо 200 фрагментов, семи манипуляций не хватит. Проверим, можно ли уложиться в 8 ходов. Будем на каждом этапе стараться делить все имеющиеся куски, пока их длина позволяет это сделать. На последнем шаге произведем разрез только там, где длина превышает 1 см.
| Номер хода | Состояние до хода | Величина разреза | Результат хода |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 шт. по 200 см | 100 см | 2 шт. по 100 см |
| 2 | 2 шт. по 100 см | 50 см | 4 шт. по 50 см |
| 3 | 4 шт. по 50 см | 25 см | 8 шт. по 25 см |
| 4 | 8 шт. по 25 см | 12 см | 8 по 12 см и 8 по 13 см |
| 5 | 8 по 12 см и 8 по 13 см | 6 см | 24 по 6 см и 8 по 7 см |
| 6 | 24 по 6 см и 8 по 7 см | 3 см | 56 по 3 см и 8 по 4 см |
| 7 | 56 по 3 см и 8 по 4 см | 2 см | 56 по 1 см и 72 по 2 см |
| 8 | 56 по 1 см и 72 по 2 см | 1 см | 200 по 1 см |
Ответ: а) да; б) нет; в) 8
Источник: ФИПИ