Деревянную линейку, длина которой выражается целым числом сантиметров, разрезают на куски. За один ход можно взять один или несколько кусков линейки, положить их друг на друга и разрезать каждый из них на две части, длины которых выражаются целым числом сантиметров.
а) Можно ли за четыре хода разрезать линейку длиной 16 см на куски длиной 1 см?
б) Можно ли за пять ходов разрезать линейку длиной 100 см на куски длиной 1 см?
в) Какое наименьшее число ходов нужно сделать, чтобы разрезать линейку длиной 200 см на куски длиной 1 см?
Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям
Решение:
а) Да, это возможно. Опишем последовательность действий:
1. Первым действием делим линейку пополам, отрезав 8 см. Получаем 2 куска по 8 см.
2. Вторым действием отрезаем от обоих имеющихся кусков по 4 см. Теперь у нас 4 части по 4 см.
3. Третьим действием делим каждую часть еще раз, отрезая по 2 см. Выходит 8 кусков по 2 см.
4. Четвертым действием отрезаем от всех восьми кусков по 1 см. В итоге получаем искомые 16 единичных отрезков по 1 см.
б) Нет, это неосуществимо. При каждом разрезании (ходе) любая из уже имеющихся частей может превратиться максимум в две. Это означает, что общее число фрагментов после каждого хода увеличивается не более чем вдвое. Таким образом, за 5 ходов можно получить максимум части. Поскольку нам требуется 100 частей, пяти ходов недостаточно.
в) Используя логику из предыдущего пункта, заметим, что за 7 ходов можно получить максимум частей. Так как нам необходимо 200 фрагментов, семи манипуляций не хватит. Проверим, можно ли уложиться в 8 ходов. Будем на каждом этапе стараться делить все имеющиеся куски, пока их длина позволяет это сделать. На последнем шаге произведем разрез только там, где длина превышает 1 см.
| Номер хода | Состояние до хода | Величина разреза | Результат хода |
| 1 | 1 шт. по 200 см | 100 см | 2 шт. по 100 см |
| 2 | 2 шт. по 100 см | 50 см | 4 шт. по 50 см |
| 3 | 4 шт. по 50 см | 25 см | 8 шт. по 25 см |
| 4 | 8 шт. по 25 см | 12 см | 8 по 12 см и 8 по 13 см |
| 5 | 8 по 12 см и 8 по 13 см | 6 см | 24 по 6 см и 8 по 7 см |
| 6 | 24 по 6 см и 8 по 7 см | 3 см | 56 по 3 см и 8 по 4 см |
| 7 | 56 по 3 см и 8 по 4 см | 2 см | 56 по 1 см и 72 по 2 см |
| 8 | 56 по 1 см и 72 по 2 см | 1 см | 200 по 1 см |
Ответ: а) да; б) нет; в) 8
Источник: ФИПИ