ЕГЭ Математика (профиль)

В правильной треугольной призме $ABCA_{1} B_{1} C_{1}$ известно, что $AB = 2 .$ Плоскость $\alpha$ проходит через вершины $A_{1}$ и $B$ и середину $M$ ребра $CC_{1} .$ а) Докажите…

В правильном тетраэдре $ABCD$ точки $M$ и $N$ - середины рёбер $AB$ и $CD$ соответственно. Плоскость $\alpha$ перпендикулярна прямой $MN$ и пересекает ребро $BC$ в точке…

Дана правильная четырёхугольная призма ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Плоскость α проходит через вершины B 1 и D и пересекает рёбра AA 1 и CC 1 в точках M и K…

Дан тетраэдр $ABCD .$ Точки $K , L , M , N$ лежат на ребрах $AC , AD , DB$ и $BC$ соответственно, так, что четырехугольник $KLMN$ квадрат со стороной 2,…

В пирамиде ABCD рёбра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, а $AB = BC = AC = 5 \sqrt{2} .$ а) Докажите, что $BD = CD .$ б) На рёбрах DA и DC отмечены точки M…

В основании прямой призмы $ABCDA_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ лежит равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD = 5$ и $BC = 3 .$ Точка $M$ делит ребро $A_{1} D_{1}$ в отноше…

Дана четырехугольная пирамида $S A B C D ,$ в основании которой лежит ромб $A B C D$ со стороной 10. Известно, что $S A = S C = 10 \sqrt{2} ,$ $S B = 20 ,$…

В треугольной пирамиде $SABC$ c основанием $ABC$ известно, что $AC = 25 , SC = 26 , \cos \angle SCA = \frac{288}{325} .$ Основанием высоты этой пирамиды является точка $B .$ Пря…

На рёбрах AC, AD, BD и BC тетраэдра ABCD отмечены точки K, L, M и N соответственно, причём $AK : KC = 2 : 3 .$ Четырёхугольник KLMN — квадрат со сторон…

В основании правильной треугольной призмы $ABCA_{1} B_{1} C_{1}$ лежит треугольник $ABC .$ На прямой $AA_{1}$ отмечена точка $M$ так, что точка $A_{1}$ — середина отрезк…

Ребро куба $ABCDA_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ равно 30. На ребре $DC$ отмечена точка $R$ так, что $DR = 10 ,$ а на ребре $B_{1} C_{1}$ отмечена точка $L$ - середина $B_{1} C_{1} ,$ при…

Точка F — середина бокового ребра SA правильной четырёхугольной пирамиды SABCD, точка M лежит на стороне основания AB. Плоскость $\beta$ проходит через точк…