Разбор задачи:
а) Рассмотрим исходное уравнение: $2 \cos ^{3} x - \cos ^{2} x + 2 \cos x - 1 = 0$.
Для решения воспользуемся методом группировки слагаемых:
$\cos ^{2} x ( 2 \cos x - 1 ) + 1 \cdot ( 2 \cos x - 1 ) = 0$
Вынесем общий множитель за скобки:
$( 2 \cos x - 1 ) ( \cos ^{2} x + 1 ) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
1) $2 \cos x - 1 = 0$
$\cos x = \frac{1}{2}$
Отсюда получаем две серии решений: $x = \frac{\pi}{3} + 2 \pi k$ и $x = - \frac{\pi}{3} + 2 \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2) $\cos ^{2} x + 1 = 0$
$\cos ^{2} x = - 1$
Данное уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого числа не может быть отрицательным.
Таким образом, решениями пункта а) являются: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2 \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Выполним отбор корней, попадающих в заданный промежуток $[ 2 \pi ; \frac{7 \pi}{2} ]$, используя тригонометрическую окружность:

Указанному отрезку соответствует только одна точка:
$x = 2 \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{6 \pi + \pi}{3} = \frac{7 \pi}{3}.$

Критерии оценивания:
— 2 балла: приведены полностью верные и обоснованные решения обоих пунктов.
— 1 балл: верно выполнен только пункт а), ЛИБО допущена одна арифметическая ошибка, не нарушившая логику решения обоих пунктов.
— 0 баллов: решение не удовлетворяет вышеуказанным требованиям.

Ответ:
а) $\pm \frac{\pi}{3} + 2 \pi k, k \in \mathbb{Z}$;
б) $\frac{7 \pi}{3}$.

Источник: ФИПИ