тема 10 из 13

Движение навстречу и вдогонку

Когда движутся два участника, следите за расстоянием между ними. Навстречу оно сокращается со скоростью $v_1 + v_2$ , в одну сторону — со скоростью $v_1 - v_2$ . Время встречи — это расстояние, делённое на скорость сближения.

Реже в задании11На карте навыков

Совместное движение: навстречу и вдогонку
—В аналитике

Скорость сближения

За каждый час расстояние между двумя участниками меняется на скорость сближения (или удаления).

Навстречу друг другу: $v_{\text{сбл}} = v_1 + v_2$ . Время до встречи $t = \frac{d}{v_1 + v_2}$ , где $d$ — расстояние между участниками в начале.
В одну сторону, быстрый сзади: $v_{\text{сбл}} = v_1 - v_2$ . Время до встречи $t = \frac{d}{v_1 - v_2}$ .
После обгона расстояние растёт с той же скоростью $v_1 - v_2$ .
Если участник выехал позже, его время в пути меньше на опоздание.

Две машины на дороге

v_1

60\ \text{км/ч}

v_2

40\ \text{км/ч}

d

200\ \text{км}

t

0\ \text{ч}

v_{\text{сбл}} = v_1 + v_2 = 60 + 40 = 100

t_{\text{встр}} = \frac{d}{v_{\text{сбл}}} = \frac{200}{100} = 2

d(0) = 200 - 100 \cdot 0 = 200

В начале между машинами 200 км. Каждый час расстояние сокращается на 100 км.

Скобка над дорогой — расстояние между машинами. Навстречу оно сокращается на

v_1 + v_2

за час, вдогонку — на

v_1 - v_2

. Выберите направление, двигайте ползунки и запустите движение.

Навстречу скорости складывают

Когда участники едут навстречу друг другу, расстояние между ними за час сокращается на $v_1 + v_2$ . Время до встречи — начальное расстояние, делённое на эту сумму: $t = \frac{d}{v_1 + v_2}$ .

Пример

Расстояние между городами A и B 420 км. Из A и B одновременно навстречу друг другу выехали два автомобиля со скоростями 60 км/ч и 80 км/ч. Через сколько часов они встретятся?

1.Скорость сближения $60 + 80 = 140$ км/ч.
2. $t = \frac{420}{140} = 3$ ч.

Ответ: $3$

Один выехал позже

Участник, который выехал позже, был в пути меньше на время опоздания. Найдите время в пути каждого участника отдельно.

Пример

Расстояние между городами A и B 500 км. Из A в B выехал первый автомобиль, а через час навстречу ему из B выехал второй со скоростью 80 км/ч. Они встретились в 260 км от A. Найдите скорость первого автомобиля.

1.Второй проехал до встречи $500 - 260 = 240$ км за $240 : 80 = 3$ ч.
2.Первый выехал на час раньше и был в пути $3 + 1 = 4$ ч.
3.Его скорость $260 : 4 = 65$ км/ч.

Ответ: $65$

В одну сторону скорости вычитают

Если участники едут в одну сторону, расстояние между ними за час меняется на разность скоростей $v_1 - v_2$ . До обгона оно сокращается: быстрый догонит медленного за время $t = \frac{d}{v_1 - v_2}$ . После обгона расстояние растёт с той же скоростью. Минуты переведите в часы: скорость дана в км/ч.

Пример

Автомобиль со скоростью 70 км/ч обогнал другой, который едет в ту же сторону со скоростью 40 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 15 минут?

1.Расстояние растёт на $70 - 40 = 30$ км за час.
2.15 минут — это $\frac{1}{4}$ ч.
3. $30 \cdot \frac{1}{4} = 7{,}5$ км.

Ответ: $7{,}5$

Догнал и вернулся

Если неизвестны и время, и скорость, составьте два уравнения. Первое — до встречи оба участника прошли один и тот же путь. Второе — путь за всё время движения.

Пример

Расстояние между A и B 420 км. Из A в B выехал автомобиль, через 1 ч за ним выехал мотоциклист со скоростью 80 км/ч. Мотоциклист догнал автомобиль в пункте C и повернул обратно. Когда он вернулся в A, автомобиль прибыл в B. Найдите расстояние от A до C.

1.Пусть мотоциклист догнал автомобиль через $t$ ч после своего выезда, а скорость автомобиля $v$ . До C оба проехали один путь: $80t = v(t + 1)$ .
2.Обратно мотоциклист ехал тоже $t$ ч. За всё время $2t + 1$ автомобиль проехал 420 км: $v(2t + 1) = 420$ .
3.Из первого уравнения $v = \frac{80t}{t + 1}$ . Подставьте во второе: $80t(2t + 1) = 420(t + 1)$ , то есть $8t^2 - 17t - 21 = 0$ .
4. $D = 289 + 672 = 961 = 31^2$ , $t = \frac{17 + 31}{16} = 3$ .
5.AC $= 80 \cdot 3 = 240$ км.

Ответ: $240$

Поезд проходит мимо поезда

Один поезд проходит мимо другого, когда поезда вместе сдвинутся на сумму своих длин. Если длины даны в метрах, а время в секундах, переведите скорость в м/с: $1$ км/ч $= \frac{1000}{3600}$ м/с $= \frac{5}{18}$ м/с.

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

По двум параллельным железнодорожным путям навстречу друг другу следуют скорый и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно 85 км/ч и 35 км/ч. Длина пассажирского поезда равна 250 метрам. Найдите длину скорого поезда, если время, за которое он прошёл мимо пассажирского, равно 30 секундам. Ответ дайте в метрах.

Правильный ответ

750

Пояснение

Поезда идут навстречу: скорость сближения $85 + 35 = 120$ км/ч.
Длины даны в метрах, время в секундах. Переведите скорость в м/с: $120$ км/ч $= \frac{120 \cdot 1000}{3600}$ м/с $= \frac{100}{3}$ м/с.
Скорый проходит мимо пассажирского, когда поезда вместе сдвинутся на сумму своих длин: $\frac{100}{3} \cdot 30 = 1000$ м.
Длина скорого: $1000 - 250 = 750$ м. Ответ: 750.

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать