тема 5 из 13

Как составить уравнение по условию

Любую текстовую задачу задания 11 решают по одному плану. Неизвестное обозначают через $x$ , остальные величины выражают через $x$ и записывают в таблицу, а уравнение даёт то условие, которое в таблицу не вошло. Чаще всего уравнение квадратное, и из двух корней берут тот, который подходит по смыслу.

Главная тема в задании11На карте навыков

Составление уравнения по условию задачи
—В аналитике

План решения текстовой задачи

Уравнение записывает условие задачи на языке формул. В каждом сюжете три величины связаны одной формулой: $\text{путь} = \text{скорость} \cdot \text{время}$ , $\text{работа} = \text{производительность} \cdot \text{время}$ , $\text{масса вещества} = \text{концентрация} \cdot \text{масса смеси}$ .

Обозначьте через $x$ одну неизвестную величину. Остальные величины выразите через $x$ и числа из условия.
Составьте таблицу: одна строка на каждого участника или участок пути, столбцы — три величины формулы.
Заполните таблицу. В каждой строке две клетки даёт условие, а третью находят по формуле.
Уравнение составьте из условия, которое ещё не вошло в таблицу: «на 6 часов меньше», «прибыли одновременно», «весь рейс 10 часов».
Решите уравнение. Отбросьте корень, который не подходит по смыслу. Запишите в ответ ту величину, которую спрашивает вопрос.

Сюжеты задания 11

Сюжет	Главная формула	Тема
Лодка, катер, теплоход на реке	$S = (v \pm u) \cdot t$	Движение по воде
Трубы, рабочие, мастера	работа = производительность × время	Совместная работа
Сплавы, растворы	вещество = концентрация × масса	Смеси и сплавы
Два участника на одном пути, один быстрее	$t = \frac{S}{v}$ , разница времён	Движение по расписанию
Каждый день на одно и то же число больше	$a_n = a_1 + (n - 1)d$	Арифметическая прогрессия
Средняя скорость на нескольких участках	$v_{\text{ср}} = \frac{S}{t}$	Средняя скорость
Цены, доходы, капитал	$p\,\%$ от числа $A$ — это $\frac{p}{100} \cdot A$	Задачи на проценты, основа — проценты
Встреча и обгон	скорость сближения $v_1 \pm v_2$	Навстречу и вдогонку

Что обозначить через x

Обычно через $x$ обозначают величину, о которой спрашивает вопрос. В задаче на движение удобно взять за $x$ скорость: тогда время в каждой строке — дробь $\frac{S}{x}$ или $\frac{S}{x + a}$ . Если участников два, через $x$ обозначают скорость медленного: скорость быстрого $x + a$ без минуса.

Медленный участник тратит на путь больше времени. Поэтому в уравнении из его времени вычитают время быстрого, и разница положительна.

Таблица задачи: скорость × время = путь

	Скорость	Время	Путь
Медленный участник	$x$	$\frac{S}{x}$	$S$
Быстрый участник	$x + a$	$\frac{S}{x + a}$	$S$

Слова условия на языке формул

Условие	Запись
скорость на 9 км/ч больше, чем $x$	$x + 9$
за час делает на 4 детали больше, чем второй (второй — $x$ )	$x + 4$
прибыл на 9 часов раньше	$t_{\text{медл}} - t_{\text{быстр}} = 9$
на обратный путь затратил на 6 часов меньше	$t_{\text{туда}} - t_{\text{обратно}} = 6$
второй вышел на 2 часа позже, прибыли одновременно	$t_{\text{первого}} - t_{\text{второго}} = 2$
в 1,5 раза медленнее	$v_{\text{быстр}} = 1{,}5 \cdot v_{\text{медл}}$
общая масса 140 кг (две массы $x$ и $y$ )	$x + y = 140$

Уравнение стало квадратным

Когда $x$ стоит в знаменателях, умножьте обе части на общий знаменатель, как в дробном уравнении. Перенесите все слагаемые в одну часть, разделите на общий множитель и решите квадратное уравнение. В задачах банка ФИПИ дискриминант — полный квадрат: если корень из него не извлекается, ищите ошибку в уравнении.

Скорость, время, масса и производительность положительны, поэтому отрицательный корень отбросьте. Если оба корня положительны, проверьте смысл: собственная скорость лодки больше скорости течения, иначе лодка не пройдёт против течения.

Пример

Из пункта A в пункт B, расстояние между которыми 60 км, одновременно выехали мотоциклист и велосипедист. За час мотоциклист проезжает на 50 км больше, чем велосипедист. Велосипедист прибыл в B на 5 часов позже мотоциклиста. Найдите скорость велосипедиста.

1.Пусть $x$ км/ч — скорость велосипедиста. Скорость мотоциклиста — $x + 50$ . Время в пути: $\frac{60}{x}$ и $\frac{60}{x + 50}$ .
2.Велосипедист был в пути на 5 ч дольше: $\frac{60}{x} - \frac{60}{x + 50} = 5$ .
3.Умножьте на $x(x + 50)$ : $60(x + 50) - 60x = 5x(x + 50)$ , то есть $5x^2 + 250x - 3000 = 0$ .
4.Разделите на 5: $x^2 + 50x - 600 = 0$ . Корни $10$ и $-60$ .
5.Скорость не бывает отрицательной, поэтому $x = 10$ .

Ответ: $10$

Вопрос не всегда про x

Найдите $x$ , а затем ту величину, о которой спрашивают. «Сколько километров прошёл теплоход за весь рейс» — это путь туда и обратно, $2x$ . Ответ записывают одним числом, без единиц измерения: как записать ответ.

Пример

Пусть $x$ деталей в час — производительность второго рабочего, и уравнение дало $x = 12$ . Первый рабочий делает в час на 4 детали больше. За сколько часов первый рабочий сделает 240 деталей?

1.Спрашивают о первом рабочем, а $x$ — производительность второго. Производительность первого — $x + 4 = 16$ деталей в час.
2.Время — работа, делённая на производительность: $240 : 16 = 15$ ч.

Ответ: $15$

Подбор корня

Часто разница скоростей (или производительностей) и разница времён — одно и то же число $a$ . Тогда уравнение $\frac{S}{x} - \frac{S}{x + a} = a$ сводится к $x(x + a) = S$ : левая часть равна $\frac{Sa}{x(x + a)}$ . Найдите два числа с разностью $a$ и произведением $S$ . Меньшее число — $x$ , большее — $x + a$ .

Пример

$\frac{96}{x} - \frac{96}{x + 4} = 4$ , $x > 0$

1.Левая часть равна $\frac{96 \cdot 4}{x(x + 4)}$ , поэтому $x(x + 4) = 96$ .
2.Два числа с разностью 4 и произведением 96: $96 = 8 \cdot 12$ .
3. $x = 8$ .

Ответ: $8$

Два неизвестных

Иногда неизвестны две величины, и условие даёт два факта. Тогда обозначьте их $x$ и $y$ и составьте систему из двух уравнений. Выразите одно неизвестное из первого уравнения и подставьте во второе. Так решают задачи о двух сплавах (система уравнений) и задачу о катере весной и летом (во сколько раз медленнее).

Единицы — одни на всю задачу

Если скорость дана в км/ч, время пишут в часах. Минуты делят на 60: 1 ч 20 мин $= \frac{4}{3}$ ч. Обыкновенная дробь удобнее десятичной: $\frac{1}{3}$ ч нельзя записать конечной десятичной дробью. Время по часам переводят в длительность вычитанием: катер вышел в 10:00 и вернулся в 16:00 — рейс длился 6 ч.

Минуты в часах

Время	В часах	Как получить
15 мин	$\frac{1}{4}$ ч	$\frac{15}{60} = \frac{1}{4}$
20 мин	$\frac{1}{3}$ ч	$\frac{20}{60} = \frac{1}{3}$
30 мин	$\frac{1}{2}$ ч	$\frac{30}{60} = \frac{1}{2}$
1 ч 20 мин	$\frac{4}{3}$ ч	$1 + \frac{20}{60} = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$
2 ч 30 мин	$\frac{5}{2}$ ч	$2 + \frac{30}{60} = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$
10 мин	$\frac{1}{6}$ ч	$\frac{10}{60} = \frac{1}{6}$
40 мин	$\frac{2}{3}$ ч	$\frac{40}{60} = \frac{2}{3}$
45 мин	$\frac{3}{4}$ ч	$\frac{45}{60} = \frac{3}{4}$

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать