тема 9 из 13

Движение по расписанию

Два участника проходят один и тот же путь с разными скоростями. Время каждого — путь, делённый на скорость. Условие говорит, на сколько одно время больше другого, и из этого составляют уравнение.

Реже в задании11На карте навыков

Движение по расписанию
—В аналитике

Разница времён в пути

Время в пути — путь, делённый на скорость. На одном пути медленный участник тратит больше времени: $\frac{S}{x} - \frac{S}{x + a} = t$ .

Обозначьте через $x$ скорость медленного участника. Скорость быстрого — $x + a$ .
Из большего времени вычтите меньшее и приравняйте к разнице времён из условия.
Умножьте на $x(x + a)$ и решите квадратное уравнение. Отрицательный корень не подходит: скорость положительна.
В ответ запишите скорость того участника, о котором спрашивают.

Выехали одновременно

Участники стартуют вместе, быстрый прибывает на $t$ ч раньше. Значит, медленный был в пути на $t$ ч дольше: $\frac{S}{x} - \frac{S}{x + a} = t$ , где $x$ — скорость медленного.

Пример

Два велосипедиста одновременно отправились в пробег на 220 км. Первый ехал на 9 км/ч быстрее второго и прибыл к финишу на 9 часов раньше. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым.

1.Пусть $x$ км/ч — скорость второго. Скорость первого — $x + 9$ .
2.Второй был в пути на 9 ч дольше: $\frac{220}{x} - \frac{220}{x + 9} = 9$ .
3.Умножьте на $x(x + 9)$ : $220 \cdot 9 = 9x(x + 9)$ , то есть $x^2 + 9x - 220 = 0$ .
4. $D = 81 + 880 = 961 = 31^2$ , $x = \frac{-9 + 31}{2} = 11$ . Второй корень $-20$ отрицательный.
5.Первым пришёл первый велосипедист: $11 + 9 = 20$ км/ч.

Ответ: $20$

Выехал позже, прибыли одновременно

Участник выехал на $t$ ч раньше и прибыл одновременно с другим. Значит, он был в пути на $t$ ч дольше. Уравнение то же: $\frac{S}{x} - \frac{S}{x + a} = t$ .

Пример

От пристани A к пристани B, расстояние между которыми 176 км, отправился теплоход. Через 5 ч за ним отправился второй, на 5 км/ч быстрее. В B они прибыли одновременно. Найдите скорость второго теплохода.

1.Первый вышел на 5 ч раньше и пришёл вместе со вторым: он был в пути на 5 ч дольше.
2.Пусть $x$ км/ч — скорость первого. Скорость второго — $x + 5$ : $\frac{176}{x} - \frac{176}{x + 5} = 5$ .
3.Умножьте на $x(x + 5)$ : $176 \cdot 5 = 5x(x + 5)$ , то есть $x^2 + 5x - 176 = 0$ .
4. $D = 25 + 704 = 729 = 27^2$ , $x = \frac{-5 + 27}{2} = 11$ .
5.Скорость второго: $11 + 5 = 16$ км/ч.

Ответ: $16$

Остановка в пути

Остановку прибавляют к времени того участника, который стоял. Его время — движение плюс стоянка: $\frac{S}{v} + t_{\text{ст}}$ . Приравняйте это время к времени другого участника или к разнице из условия.

Пример

Пристани A и B расположены на озере, расстояние между ними 264 км. Баржа прошла из A в B с постоянной скоростью. Обратно она шла со скоростью на 2 км/ч больше и сделала остановку на 1 ч. На обратный путь ушло столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость баржи на пути из A в B.

1.Пусть $x$ км/ч — скорость из A в B. Скорость обратно — $x + 2$ . На озере течения нет.
2.Обратный путь — движение плюс 1 ч стоянки. Времена равны: $\frac{264}{x} = \frac{264}{x + 2} + 1$ .
3.Умножьте на $x(x + 2)$ : $264 \cdot 2 = x(x + 2)$ , то есть $x^2 + 2x - 528 = 0$ .
4. $D = 4 + 2112 = 2116 = 46^2$ , $x = \frac{-2 + 46}{2} = 22$ .

Ответ: $22$

Движение по реке

На реке скорость лодки меняет течение: по течению $v + u$ , против течения $v - u$ . Такие задачи разобраны в теме Движение по воде.

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать