тема 6 из 13

Движение по воде

По течению судно идёт со скоростью $v + u$ , против течения — со скоростью $v - u$ . Почти каждая задача — путь туда и обратно: условие даёт разницу или сумму времён по течению и против течения. Время стоянки вычитают из времени рейса.

Реже в задании11На карте навыков

Движение по воде: по течению и против течения
—В аналитике

Скорость по течению и против течения

$v$ — собственная скорость судна (в неподвижной воде), $u$ — скорость течения. Течение прибавляет свою скорость к скорости судна, когда они направлены в одну сторону, и отнимает, когда навстречу.

По течению: $v + u$ . Против течения: $v - u$ .
Время на пути $S$ : $\frac{S}{v + u}$ и $\frac{S}{v - u}$ .
На озере течения нет: туда и обратно скорость одна.
Плот не имеет собственной скорости: он плывёт со скоростью течения $u$ .
Собственная скорость больше скорости течения: $v > u$ .

Рейс туда и обратно

v + u = 20 + 4 = 24, \quad v - u = 20 - 4 = 16

S

48\ \text{км}

t_{\text{ст}}

300\ \text{мин}

v

20\ \text{км/ч}

u

4\ \text{км/ч}

t_{\text{по}} = \frac{48}{24} = 2

t_{\text{против}} = \frac{48}{16} = 3

t_{\text{по}} + t_{\text{ст}} + t_{\text{против}} = 2 + 5 + 3 = 10

Против течения путь длится 3 ч, по течению — 2 ч. Разница 1 ч. Весь рейс: 10 ч.

Шкала под рекой — время рейса: по течению, стоянка, против течения. Чем сильнее течение, тем больше разница между временем туда и временем обратно. Двигайте ползунки и запустите рейс.

Разница времён: из большего вычитают меньшее

Путь по течению и путь против течения равны. Против течения судно идёт медленнее, поэтому это время больше. Из большего времени вычтите меньшее и приравняйте к разнице из условия.

Пример

Моторная лодка прошла против течения реки 72 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 часов меньше. Скорость лодки в неподвижной воде 9 км/ч. Найдите скорость течения.

1.Пусть $x$ км/ч — скорость течения. Против течения лодка идёт со скоростью $9 - x$ , по течению — $9 + x$ .
2.Против течения лодка шла дольше: $\frac{72}{9 - x} - \frac{72}{9 + x} = 6$ .
3.Умножьте на $(9 - x)(9 + x) = 81 - x^2$ : $72(9 + x) - 72(9 - x) = 6(81 - x^2)$ , то есть $144x = 486 - 6x^2$ .
4.Разделите на 6: $x^2 + 24x - 81 = 0$ , $D = 576 + 324 = 900$ , $x = \frac{-24 \pm 30}{2}$ .
5.Корни 3 и −27. Скорость положительна: $x = 3$ .

Ответ: $3$

Неизвестна собственная скорость

Если неизвестна собственная скорость $x$ , то против течения судно идёт со скоростью $x - u$ , по течению — $x + u$ . Уравнение то же: большее время минус меньшее. Подходит только корень, при котором $x > u$ .

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

Моторная лодка прошла против течения реки 91 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 часов меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 3 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Правильный ответ

Пояснение

Неизвестна собственная скорость: пусть она $x$ км/ч. Против течения лодка идёт со скоростью $x - 3$ , по течению — $x + 3$ .
Против течения лодка шла на 6 ч дольше: $\frac{91}{x - 3} - \frac{91}{x + 3} = 6$ .
Умножьте на $x^2 - 9$ : $91(x + 3) - 91(x - 3) = 6(x^2 - 9)$ , то есть $546 = 6(x^2 - 9)$ и $x^2 - 9 = 91$ .
$x^2 = 100$ , $x = 10$ : скорость положительна и больше течения. Ответ: 10.

Стоянка не входит во время движения

Пока судно стоит у пристани, оно не движется. Вычтите стоянку из времени рейса и приравняйте сумму времён туда и обратно к оставшемуся времени.

Пример

Теплоход прошёл по течению 48 км и после стоянки 5 ч вернулся через 10 ч после отправления. Скорость течения 4 км/ч. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде.

1.Пусть $x$ км/ч — собственная скорость. В движении теплоход был $10 - 5 = 5$ ч: $\frac{48}{x + 4} + \frac{48}{x - 4} = 5$ .
2.Умножьте на $x^2 - 16$ : $48(x - 4) + 48(x + 4) = 5(x^2 - 16)$ , то есть $5x^2 - 96x - 80 = 0$ .
3. $D = 9216 + 1600 = 10816 = 104^2$ , $x = \frac{96 \pm 104}{10}$ : $x = 20$ или $x = -0{,}8$ .
4.Скорость положительна: $x = 20$ .

Ответ: $20$

Время по часам

Если даны часы выхода и возвращения, время рейса — их разность. Вычтите стоянку и переведите минуты в часы. Направление течения не важно: сумма времён туда и обратно та же.

Пример

Байдарка в 10:00 вышла из пункта A в пункт B, расположенный в 15 км от A. Пробыв в B 1 ч 20 мин, она отправилась назад и вернулась в A в 16:00. Скорость течения 2 км/ч. Найдите собственную скорость байдарки.

1.Весь рейс $16 - 10 = 6$ ч. Стоянка 1 ч 20 мин $= \frac{4}{3}$ ч, в движении $6 - \frac{4}{3} = \frac{14}{3}$ ч.
2.Пусть $x$ км/ч — собственная скорость: $\frac{15}{x + 2} + \frac{15}{x - 2} = \frac{14}{3}$ .
3.Умножьте на $3(x^2 - 4)$ : $90x = 14(x^2 - 4)$ , то есть $7x^2 - 45x - 28 = 0$ .
4. $D = 2025 + 784 = 2809 = 53^2$ , $x = \frac{45 + 53}{14} = 7$ . Второй корень отрицательный.

Ответ: $7$

Весь рейс — путь туда и обратно

Вопрос «сколько километров теплоход прошёл за весь рейс» спрашивает путь туда и обратно. Найдите путь в одну сторону и умножьте его на 2.

Пример

Теплоход с собственной скоростью 27 км/ч проходит некоторое расстояние по реке и после стоянки возвращается. Течение 1 км/ч, стоянка 5 ч, весь рейс 32 ч. Сколько километров теплоход прошёл за весь рейс?

1.Пусть $x$ км — путь в одну сторону. Скорости $28$ и $26$ км/ч, в движении $32 - 5 = 27$ ч: $\frac{x}{28} + \frac{x}{26} = 27$ .
2.Общий знаменатель $28 \cdot 26 = 728$ : $\frac{54x}{728} = 27$ , $x = 364$ .
3.За весь рейс $2 \cdot 364 = 728$ км.

Ответ: $728$

Плот плывёт со скоростью течения

Время плота — его путь, делённый на скорость течения. Через время плота найдите время второго участника, а потом составьте уравнение для него.

Пример

Расстояние между пристанями A и B 192 км, течение 4 км/ч. Из A в B отправился плот, а через 3 ч — яхта. Яхта дошла до B, сразу повернула и вернулась в A. К этому времени плот проплыл 92 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде.

1.Плот плыл $92 : 4 = 23$ ч, значит, яхта была в пути $23 - 3 = 20$ ч.
2.Пусть $x$ км/ч — скорость яхты: $\frac{192}{x + 4} + \frac{192}{x - 4} = 20$ .
3.Умножьте на $x^2 - 16$ и разделите на 4: $5x^2 - 96x - 80 = 0$ . Корни 20 и −0,8.

Ответ: $20$

Во сколько раз медленнее

«Против течения катер идёт в $1\frac{2}{3}$ раза медленнее, чем по течению» значит $v + u = \frac{5}{3}(v - u)$ . Если течение меняется, а собственная скорость нет, неизвестных два: $v$ и $u$ . Каждое отношение даёт одно уравнение.

Пример

Весной катер идёт против течения в $1\frac{2}{3}$ раза медленнее, чем по течению. Летом течение становится на 1 км/ч медленнее, и катер идёт против течения в $1\frac{1}{2}$ раза медленнее, чем по течению. Найдите скорость течения весной.

1.Пусть $v$ — собственная скорость, $u$ — скорость течения весной. Весной $3(v + u) = 5(v - u)$ , то есть $v = 4u$ .
2.Летом скорость течения $u - 1$ : $2(v + u - 1) = 3(v - u + 1)$ .
3.Подставьте $v = 4u$ : $2(5u - 1) = 3(3u + 1)$ , $10u - 2 = 9u + 3$ , $u = 5$ .

Ответ: $5$

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать