тема 7 из 13

Задачи на совместную работу

Работа равна производительности, умноженной на время. Если объём работы не дан, всю работу принимают за 1, и производительности тех, кто работает вместе, складываются. Если объём дан, неизвестным берут производительность, а уравнение составляют по разности времён.

Реже в задании11На карте навыков

Работа и производительность: совместная работа
—В аналитике

Работа = производительность × время

$A = p \cdot t$ : работа $A$ , производительность $p$ (работа за единицу времени) и время $t$ . Отсюда $t = \frac{A}{p}$ и $p = \frac{A}{t}$ .

Объём работы не дан (заказ, забор, грядка, бак) — примите всю работу за 1. Кто делает её за $t$ часов, за час делает $\frac{1}{t}$ работы.
Вместе работают — производительности складываются: $\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{t}$ .
Объём дан (детали, литры) — обозначьте производительность через $x$ , время выразите как $\frac{A}{x}$ .
Время не складывают и не усредняют.

Две трубы наполняют бак

\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{t}

t_1

36

t_2

12

\text{время}

0

\frac{1}{36} + \frac{1}{12} = \frac{1}{36} + \frac{3}{36} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}

t = 1 : \frac{1}{9} = 9\text{ ч}

За

1

ч первая труба наполняет

\frac{1}{36}

бака, вторая —

\frac{1}{12}

бака.

Первая труба одна наполняет бак за

t_1

ч, вторая — за

t_2

ч. Синий слой налила первая труба, оранжевый — вторая. Двигайте ползунки

t_1

t_2

и время.

Вместе: сложите производительности

Найдите, какую часть работы каждый делает за час, и сложите. Время вместе — 1, делённая на сумму. Для двоих $t = \frac{t_1 t_2}{t_1 + t_2}$ .

Вдвоём работу делают быстрее, чем каждый в одиночку: ответ меньше меньшего из двух времён.

Пример

Один мастер выполняет заказ за 36 ч, другой — за 12 ч. За сколько часов они выполнят заказ, работая вместе?

1.За час они делают $\frac{1}{36} + \frac{1}{12} = \frac{1}{36} + \frac{3}{36} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$ заказа.
2.Весь заказ — за $1 : \frac{1}{9} = 9$ ч.
3.Проверка: $\frac{36 \cdot 12}{36 + 12} = \frac{432}{48} = 9$ , и $9 < 12$ .

Ответ: $9$

Один из двоих

Если известно время вместе и время одного, вычтите производительности: $\frac{1}{t} - \frac{1}{t_1} = \frac{1}{t_2}$ . Время второго — 1, делённая на результат.

Пример

Аня и Таня, работая вместе, пропалывают грядку за 24 минуты, а одна Таня — за 36 минут. За сколько минут пропалывает эту грядку одна Аня?

1.За минуту Аня делает $\frac{1}{24} - \frac{1}{36} = \frac{3}{72} - \frac{2}{72} = \frac{1}{72}$ грядки.
2.Вся грядка — за $1 : \frac{1}{72} = 72$ мин.

Ответ: $72$

Три участника и разные единицы

Производительности трёх участников тоже складываются. Если время дано в часах и минутах, сначала переведите его в одни единицы (часы и минуты).

Пример

Три насоса наполняют бак: первый за 11 мин, второй за 15 мин, третий за 1 ч 50 мин. За сколько минут они наполнят бак, работая вместе?

1.1 ч 50 мин $= 110$ мин.
2.За минуту: $\frac{1}{11} + \frac{1}{15} + \frac{1}{110} = \frac{30}{330} + \frac{22}{330} + \frac{3}{330} = \frac{55}{330} = \frac{1}{6}$ бака.
3.Весь бак — за 6 мин.

Ответ: $6$

Один делает за час больше

Объём работы дан, производительности отличаются на известное число, время — тоже. Обозначьте через $x$ производительность того, кто работает медленнее, и запишите величины в таблицу: время = работа : производительность.

Кто делает за час больше, тот тратит меньше часов. Уравнение: большее время минус меньшее равно разности времён.

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

Заказ на изготовление 209 деталей первый рабочий выполняет на 8 часов быстрее, чем второй. Сколько деталей за час изготавливает второй рабочий, если известно, что первый за час изготавливает на 8 деталей больше?

Правильный ответ

Пояснение

Пусть второй рабочий делает $x$ деталей в час, тогда первый — $x + 8$ . Второй выполняет заказ за $\frac{209}{x}$ ч, первый — за $\frac{209}{x + 8}$ ч.
Первый быстрее на 8 ч: $\frac{209}{x} - \frac{209}{x + 8} = 8$ . Общий знаменатель: $\frac{209 \cdot 8}{x(x + 8)} = 8$ , поэтому $x(x + 8) = 209$ (дробное уравнение).
$x^2 + 8x - 209 = 0$ , $D = 64 + 836 = 900$ , $x = \frac{-8 + 30}{2} = 11$ или $x = -19$ (квадратное уравнение).
Производительность не может быть отрицательной (выбор корня). Ответ: 11.

Короткий путь: подбор

Если разность производительностей равна разности времён («на 4 литра больше» и «на 4 минуты быстрее»), уравнение сводится к $x(x + d) = A$ . Корень находят подбором: разложите $A$ на два множителя, которые отличаются на $d$ . Меньший множитель — производительность медленного, больший — быстрого.

Пример

Первая труба пропускает на 4 литра в минуту меньше, чем вторая, и заполняет резервуар объёмом 285 литров на 4 минуты дольше. Сколько литров в минуту пропускает первая труба?

1.Первая пропускает $x$ л/мин, вторая — $x + 4$ : $\frac{285}{x} - \frac{285}{x + 4} = 4$ .
2. $\frac{285 \cdot 4}{x(x + 4)} = 4$ , поэтому $x(x + 4) = 285$ .
3. $285 = 15 \cdot 19$ , множители отличаются на 4: $x = 15$ .

Ответ: $15$

Вопрос о другом участнике

Через $x$ обозначен медленный: та труба, что пропускает меньше, или тот рабочий, что делает меньше. Вопрос не всегда про $x$ : перед ответом проверьте, о ком спрашивают.

Пример

Первая труба пропускает на 4 литра в минуту меньше, чем вторая. Резервуар объёмом 672 литра вторая труба заполняет на 4 минуты быстрее, чем первая. Сколько литров в минуту пропускает вторая труба?

1.Первая пропускает $x$ л/мин, вторая — $x + 4$ : $\frac{672}{x} - \frac{672}{x + 4} = 4$ , поэтому $x(x + 4) = 672$ .
2. $672 = 24 \cdot 28$ , поэтому $x = 24$ — это первая труба.
3.Спрашивают про вторую: $24 + 4 = 28$ .

Ответ: $28$

Разные заказы

Если у двух рабочих разные объёмы работы, время каждого считают по его заказу. Пусть второй делает $x$ деталей в час, а первый на $d$ больше. Тогда их времена равны $\frac{A_2}{x}$ и $\frac{A_1}{x + d}$ , где $A_1$ и $A_2$ — их заказы. Разность этих времён даёт уравнение. Умножьте его на общий знаменатель и решите квадратное уравнение: подбор здесь не работает.

Пример

На изготовление 540 деталей первый рабочий тратит на 12 часов меньше, чем второй на изготовление 600 деталей. Первый делает за час на 10 деталей больше. Сколько деталей в час делает первый рабочий?

1.Второй делает $x$ деталей в час, первый — $x + 10$ : $\frac{600}{x} - \frac{540}{x + 10} = 12$ .
2.Умножьте на $x(x + 10)$ : $600(x + 10) - 540x = 12x(x + 10)$ , то есть $x^2 + 5x - 500 = 0$ .
3. $D = 25 + 2000 = 2025 = 45^2$ , $x = 20$ или $x = -25$ .
4.Первый делает $20 + 10 = 30$ деталей в час.

Ответ: $30$

Вместе и разность времён

Если известно время вместе и на сколько один медленнее другого, обозначьте через $x$ время быстрого. Время медленного — $x + d$ . Сложите производительности и приравняйте к производительности вместе.

Пример

Первая труба наполняет резервуар на 48 минут дольше, чем вторая. Обе трубы вместе наполняют его за 45 минут. За сколько минут наполняет этот резервуар одна вторая труба?

1.Вторая — за $x$ мин, первая — за $x + 48$ : $\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 48} = \frac{1}{45}$ .
2. $45(2x + 48) = x(x + 48)$ , то есть $x^2 - 42x - 2160 = 0$ .
3. $D = 1764 + 8640 = 10404 = 102^2$ , $x = \frac{42 + 102}{2} = 72$ . Второй корень отрицательный.

Ответ: $72$

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать