тема 13 из 13

Арифметическая прогрессия

В арифметической прогрессии каждый член больше предыдущего на одно и то же число $d$ . Член с номером $n$ и сумму первых $n$ членов находят по формулам. В задании 11 прогрессию узнают по словам «каждый день на одно и то же число больше».

Основа для задания13Реже в задании11На карте навыков

Арифметическая прогрессия
—В аналитике

Формулы арифметической прогрессии

Последовательность $a_1, a_2, a_3, \ldots$ , в которой $a_{n + 1} = a_n + d$ , — арифметическая прогрессия с разностью $d$ .

Член с номером $n$ : $a_n = a_1 + (n - 1)d$ .
Сумма первых $n$ членов: $S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$ .
Та же сумма через разность: $S_n = \frac{(2a_1 + (n - 1)d) \cdot n}{2}$ .
Разность: $d = a_2 - a_1$ или $d = \frac{a_n - a_1}{n - 1}$ .

От первого члена до n-го — n − 1 шагов

Член с номером $n$ находят по формуле $a_n = a_1 + (n - 1)d$ . Чтобы дойти от $a_1$ до $a_n$ , к первому члену прибавляют $d$ ровно $n - 1$ раз. До четвёртого члена три шага: $a_4 = a_1 + 3d$ .

Пример

$a_1 = 2$ , $d = 2$ . Найдите девятый член прогрессии.

1.От $a_1$ до $a_9$ восемь шагов: $a_9 = a_1 + 8d$ .
2. $a_9 = 2 + 8 \cdot 2 = 18$ .

Ответ: $18$

Сумма первых n членов

Сумма первых $n$ членов равна $S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$ : полусумма первого и последнего членов, умноженная на число членов.

Почему так: запишите сумму два раза: от первого члена к последнему и от последнего к первому. Под каждым членом стоит пара с одной и той же суммой $a_1 + a_n$ : $a_2 + a_{n - 1} = a_1 + d + a_n - d$ . Пар $n$ , поэтому $2S_n = (a_1 + a_n) \cdot n$ , и сумму делят на 2.

Пример

Найдите сумму $1 + 2 + \ldots + 100$ .

1. $a_1 = 1$ , $a_{100} = 100$ , $n = 100$ .
2. $S_{100} = \frac{(1 + 100) \cdot 100}{2} = 5050$ .

Ответ: $5050$

Лестница прогрессии

a_n = a_1 + (n - 1)d

a_1

3

d

2

n

10

k

1

a_{1} = a_1 + (1 - 1)d = 3 + 0 \cdot 2 = 3

S_{10} = \frac{(a_1 + a_{10}) \cdot 10}{2} = \frac{(3 + 21) \cdot 10}{2} = 120

Первая ступенька — это

a_1 = 3

. Каждая следующая выше на

d = 2

Столбец

k

— член

a_k

: синяя часть —

a_1

, каждый оранжевый блок —

d

. Сумма

S_n

— площадь всей лестницы. Кнопка ставит на лестницу перевёрнутую копию, и две лестницы дают прямоугольник

(a_1 + a_n) \times n

Прогрессия в тексте задачи

Слова «каждый день на одно и то же число больше, чем в предыдущий» значат: объёмы за день — арифметическая прогрессия. Тогда $a_1$ — работа за первый день, $a_n$ — за последний, $n$ — число дней, $S_n$ — вся работа (путь, тоннель, забор, партия груза).

Если даны $a_1$ , $n$ и $S_n$ , подставьте $a_n = a_1 + (n - 1)d$ в формулу суммы: $S_n = \frac{(2a_1 + (n - 1)d) \cdot n}{2}$ . Из этого уравнения найдите $d$ .

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

Вере надо подписать 640 открыток. Ежедневно она подписывает на одно и то же количество открыток больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Вера подписала 10 открыток. Определите, сколько открыток было подписано за четвертый день, если вся работа была выполнена за 16 дней.

Правильный ответ

Пояснение

Число открыток за день растёт на одно и то же число: это прогрессия с $a_1 = 10$ , $n = 16$ , $S_{16} = 640$ .
Формула суммы через разность: $\frac{(2 \cdot 10 + 15d) \cdot 16}{2} = 640$ , то есть $(20 + 15d) \cdot 8 = 640$ .
$20 + 15d = 80$ , $15d = 60$ , $d = 4$ (линейное уравнение).
Четвёртый день: $a_4 = a_1 + 3d = 10 + 3 \cdot 4 = 22$ . Ответ: 22.

Последний день или число дней — без разности

Если спрашивают последний член $a_n$ или число членов $n$ , разность не нужна. Обе величины находят прямо из $S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$ . Например, число дней $n = \frac{2S_n}{a_1 + a_n}$ .

Пример

В первый день прорыли 3 м тоннеля, каждый следующий день — на одно и то же число метров больше. За 10 дней прорыли 500 м. Сколько метров прорыли в последний день?

1. $a_1 = 3$ , $n = 10$ , $S_{10} = 500$ .
2. $\frac{(3 + a_{10}) \cdot 10}{2} = 500$ , то есть $(3 + a_{10}) \cdot 5 = 500$ .
3. $3 + a_{10} = 100$ , $a_{10} = 97$ .

Ответ: $97$

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать