Смеси, сплавы и растворы

Пример

В сосуд, где было 10 л $24\%$-го раствора, добавили 5 л воды. Найдите концентрацию нового раствора в процентах.

1. 1.Вещества: $10 \cdot 0{,}24 = 2{,}4$ л.
2. 2.Масса нового раствора: $10 + 5 = 15$ л.
3. 3.$\frac{2{,}4}{15} \cdot 100\% = 16\%$.

Ответ: $16$

Пример

Смешали некоторое количество $12\%$-го раствора с таким же количеством $14\%$-го. Найдите концентрацию смеси в процентах.

1. 1.Пусть каждого раствора по $m$ кг. Вещества $0{,}12m + 0{,}14m = 0{,}26m$ на $2m$ кг смеси.
2. 2.$\frac{0{,}26m}{2m} = 0{,}13$, то есть $13\%$. Это и есть $\frac{12 + 14}{2}$.

Ответ: $13$

Пример

Первый сплав содержит $15\%$ никеля, второй — $35\%$. Из них получили 140 кг сплава, содержащего $30\%$ никеля. Найдите массу второго сплава в килограммах.

1. 1.Массы: $x + y = 140$.
2. 2.Никель: $0{,}15x + 0{,}35y = 0{,}3 \cdot 140 = 42$.
3. 3.Подставьте $x = 140 - y$: $21 - 0{,}15y + 0{,}35y = 42$, $0{,}2y = 21$, $y = 105$.

Ответ: $105$

Пример

Первый сплав содержит $10\%$ меди, второй — $35\%$. Из них получили 150 кг сплава, содержащего $25\%$ меди. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?

1. 1.$x + y = 150$, $0{,}1x + 0{,}35y = 0{,}25 \cdot 150 = 37{,}5$.
2. 2.Подставьте $x = 150 - y$: $15 + 0{,}25y = 37{,}5$, $y = 90$, $x = 60$.
3. 3.Вопрос — разность масс: $90 - 60 = 30$.

Ответ: $30$

Пример

Первый сплав содержит $40\%$ меди, второй — $25\%$. Масса первого сплава больше массы второго на 10 кг. Из них получили третий сплав, содержащий $35\%$ меди. Найдите массу третьего сплава в килограммах.

1. 1.Второй сплав — $y$ кг, первый — $y + 10$ кг, третий — $2y + 10$ кг.
2. 2.Медь: $0{,}4(y + 10) + 0{,}25y = 0{,}35(2y + 10)$, то есть $0{,}65y + 4 = 0{,}7y + 3{,}5$.
3. 3.$0{,}05y = 0{,}5$, $y = 10$.
4. 4.Вопрос — масса третьего сплава: $2 \cdot 10 + 10 = 30$ кг.

Ответ: $30$

Пример

В первом сосуде 30 кг раствора кислоты, во втором — 15 кг. Если слить их вместе, получится раствор с $34\%$ кислоты. Если смешать равные массы этих растворов, получится $46\%$. Сколько килограммов кислоты в первом сосуде?

1. 1.Пусть концентрации $x\%$ и $y\%$. Слили всё: $30x + 15y = 34 \cdot 45$, то есть $2x + y = 102$.
2. 2.Равные массы: $\frac{x + y}{2} = 46$, то есть $x + y = 92$.
3. 3.Вычтите второе уравнение из первого: $x = 10$.
4. 4.Вопрос — килограммы кислоты: $30 \cdot 0{,}1 = 3$ кг.

Ответ: $3$

Пример

Смешали $x$ кг $45\%$-го и $y$ кг $97\%$-го раствора кислоты и добавили 10 кг воды: получили $62\%$. Если бы вместо воды добавили 10 кг $50\%$-го раствора, получили бы $72\%$. Сколько килограммов $45\%$-го раствора использовали?

1. 1.Масса смеси в обоих случаях одна: $M = x + y + 10$.
2. 2.Во втором случае кислоты больше на $10 \cdot 0{,}5 = 5$ кг, а концентрация выше на $10\%$: $0{,}1M = 5$, $M = 50$, $x + y = 40$.
3. 3.Первое смешивание: $0{,}45x + 0{,}97(40 - x) = 0{,}62 \cdot 50 = 31$.
4. 4.$38{,}8 - 0{,}52x = 31$, $0{,}52x = 7{,}8$, $x = 15$.

Ответ: $15$

Пример

Виноград содержит $82\%$ влаги, а изюм — $19\%$. Сколько килограммов винограда требуется для получения 42 кг изюма?

1. 1.Сухого вещества в винограде $18\%$, в изюме $81\%$.
2. 2.В 42 кг изюма сухого вещества $42 \cdot 0{,}81 = 34{,}02$ кг.
3. 3.Столько же его в винограде: $0{,}18x = 34{,}02$, $x = 189$.

Ответ: $189$