Решение:

Вспомним, что величина дуги, на которую опирается диаметр окружности, составляет $180^{\circ}$. Рассмотрим вписанный угол $ABC$. По условию он равен $103^{\circ}$, следовательно, дуга $ADC$, на которую он опирается, в два раза больше: $\cup ADC = 2 \cdot 103^{\circ} = 206^{\circ}$.
Аналогично, зная величину вписанного угла $CAD = 42^{\circ}$, находим дугу $CD$: $\cup CD = 2 \cdot 42^{\circ} = 84^{\circ}$.
Теперь вычислим градусную меру дуги $AD$, вычтя из дуги $ADC$ дугу $CD$: $\cup AD = 206^{\circ} - 84^{\circ} = 122^{\circ}$.
Искомый угол $ABD$ также является вписанным и опирается на дугу $AD$. Значит, его величина равна половине этой дуги:
$\angle ABD = \frac{1}{2} \cup AD = \frac{122^{\circ}}{2} = 61^{\circ}$.

Ответ: 61

Источник: ФИПИ