Задание 13

Экономическая задача · 80 заданий

Задание №13
№13Лёгкое
В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 250000 рублей. Условия возврата таковы: - каждый январь долг увеличивается на r % по сравне…
Целые и дробно-рацион. ур-я
Задание №13
№13Сложное
В июне 2026 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере 4,2 млн рублей. Условия его возврата таковы: - каждый январь долг возрастает н…
Прогрессии
Задание №13
№13Лёгкое
В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 300000 рублей. Условия возврата таковы: - каждый январь долг увеличивается на r % по сравне…
Прогрессии
Задание №13
№13Сложное
В июне 2026 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере 6,6 млн рублей. Условия его возврата таковы: - каждый январь долг возрастает н…
Прогрессии
Задание №13
№13Лёгкое
Строительство нового завода стоит 100 млн рублей. Затраты на производство x тыс. единиц продукции на таком заводе равны (0,5 x² + x + 7) млн рублей в…
Целые и дробно-рацион. нер-ва
Задание №13
№13Лёгкое
В июле 2026 года Андрей планирует открыть накопительный счёт на три года. Условия по этом счету таковы: - 1 июля 2026 года Андрей помещает на счёт 819…
Прогрессии
Задание №13
№13Лёгкое
В июле 2026 года Андрей планирует открыть накопительный счёт на три года. Условия н этом счету таковы: - 1 июля 2026 года Андрей помещает на счёт 4880…
Прогрессии
Задание №13
№13Лёгкое
В июле планируется открыть вклад в банке под 20% годовых на некоторую сумму. В начале 2, 3 и 4 годов со вклада снимают одну и ту же сумму. Найдите исх…
Прогрессии
Задание №13
№13Среднее
15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 9 миллионов рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы: — 1-го числа каждого меся…
Прогрессии
Задание №13
№13Среднее
15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на 9 миллионов рублей на 36 месяцев. Условия его возврата таковы: - 1-го числа каждого месяца до…
Прогрессии
Задание №13
№13Лёгкое
Зависимость количества Q (в шт., 0 ⩽ Q ⩽ 20000) купленного у фирмы товара от цены P (в руб. за шт.) выражается формулой Q = 20000 - P. Затраты на прои…
Дроби, проценты
Задание №13
№13Лёгкое
Зависимость количества Q (в шт., 0 ⩽ Q ⩽ 15000) купленного у фирмы товара от цены P (в руб. за шт.) выражается формулой Q = 15000 - P. Затраты на прои…
Дроби, проценты

Задание №13 — Кредиты

В июле 2025 года планируется взять кредит на десять лет. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг будет возрастать на 30% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;
- в июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
- в июле 2030 года долг должен составлять 500 тыс. рублей;
- в июле 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
- к июлю 2035 года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 2080 тыс. рублей. Сколько рублей составит платёж в 2026 году?

Правильный ответ

250000

Пояснение

Решение:
Введем обозначения и выпишем условия задачи:
$S$ — первоначальный размер кредита;
$r = 30 \%$ — годовая процентная ставка;
$n = 10$ лет — общий срок кредитования;
Общий объем всех платежей составляет 2080 тыс. рублей.
К середине срока (в 2030 году) остаток основного долга равен 500 тыс. рублей.
Пусть $x$ — фиксированная сумма, на которую уменьшается тело долга в течение первых 5 лет.
Необходимо вычислить величину платежа в 2026 году.

Проанализируем динамику изменения задолженности и структуру выплат:

Долг до начисления %	Долг с процентами	Размер выплаты	Остаток долга
1) $S$	$S \cdot (1 + \frac{r}{100})$	$\frac{S \cdot r}{100} + x$	$S - x$
2) $S - x$	$(S - x) \cdot (1 + \frac{r}{100})$	$\frac{(S - x) \cdot r}{100} + x$	$S - 2x$
...	...	...	...
5) $S - 4x$	$(S - 4x) \cdot (1 + \frac{r}{100})$	$\frac{(S - 4x) \cdot r}{100} + x$	$S - 5x$
6) 500	$500 \cdot (1 + \frac{r}{100})$	$\frac{500 \cdot r}{100} + \frac{500}{5}$	400
7) 400	$400 \cdot (1 + \frac{r}{100})$	$\frac{400 \cdot r}{100} + \frac{500}{5}$	300
...	...	...	...
10) 100	$100 \cdot (1 + \frac{r}{100})$	$\frac{100 \cdot r}{100} + \frac{500}{5}$	0

Заметим, что по условию через 5 лет долг равен 500 тыс. руб., следовательно: $S - 5x = 500$ , откуда $S = 5x + 500$ .
Общая сумма выплат складывается из погашения основного долга ( $S$ ) и начисленных процентов. Используя формулу суммы арифметической прогрессии для процентов, составим уравнение:
$S + \frac{r}{100} \cdot \left(\frac{S + (S - 4x)}{2} \cdot 5 + \frac{500 + 100}{2} \cdot 5\right) = 2080$
Подставим $S = 5x + 500$ и $r = 30$ :
$5x + 500 + \frac{30}{100} \cdot \left(\frac{5x + 500 + 5x + 500 - 4x}{2} \cdot 5 + \frac{600}{2} \cdot 5\right) = 2080$
$5x + 500 + \frac{3}{10} \cdot \left(\frac{6x + 1000}{2} \cdot 5 + 1500\right) = 2080$
$5x + 500 + \frac{3}{10} \cdot (15x + 2500 + 1500) = 2080$
$5x + 500 + 4,5x + 750 + 450 = 2080$
$9,5x + 1700 = 2080$
$9,5x = 380$
$x = 40$ .
Теперь найдем платеж за первый год (2026 год):
$P_1 = \frac{S \cdot r}{100} + x$
Так как $S = 5 \cdot 40 + 500 = 700$ , то:
$P_1 = \frac{700 \cdot 30}{100} + 40 = 210 + 40 = 250$ тыс. рублей.

Ответ: 250 000 рублей.

Источник: ФИПИ