Задание №15 — Рациональные неравенства

Разбор решения:
Исходное неравенство: $3^{x} + \frac{243}{3^{x} - 36} \geq 0$.
Для упрощения вычислений введем новую переменную, пусть $3^{x} = t$, где $t > 0$.
Тогда выражение примет вид: $t + \frac{243}{t - 36} \geq 0$.
Приведем слагаемые к общему знаменателю:
$\frac{t(t - 36) + 243}{t - 36} \geq 0$;
$\frac{t^{2} - 36t + 243}{t - 36} \geq 0$.
Разложим квадратный трехчлен в числителе на множители, найдя его корни (по теореме Виета это 9 и 27):
$\frac{(t - 9)(t - 27)}{t - 36} \geq 0$.
Решим полученное рациональное неравенство относительно $t$ методом интервалов:

Согласно схеме, решениями для $t$ являются промежутки:
$\left[\begin{matrix} 9 \leq t \leq 27 \\ t > 36 \end{matrix}\right.$
Перейдем обратно к переменной $x$, подставив $3^{x}$ вместо $t$:
$\left[\begin{matrix} 9 \leq 3^{x} \leq 27 \\ 3^{x} > 36 \end{matrix}\right.$
Представим числа в виде степеней с основанием 3 и прологарифмируем:
$\left[\begin{matrix} 3^2 \leq 3^{x} \leq 3^3 \\ 3^{x} > 36 \end{matrix}\right.$
Отсюда получаем совокупность для $x$:
$\left[\begin{matrix} 2 \leq x \leq 3 \\ x > \log_{3} 36 \end{matrix}\right.$

Ответ: $[2; 3] \cup (\log_{3} 36; +\infty)$

Источник: ФИПИ