Задание №15 — Рациональные неравенства

Решение:
Исходное неравенство: $\frac{4}{3^{x} - 27} \geq \frac{1}{3^{x} - 9}$.
Для упрощения вычислений введем новую переменную, пусть $3^{x} = t$, где $t > 0$.
Тогда неравенство примет вид:
$\frac{4}{t - 27} \geq \frac{1}{t - 9}$.
Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем их к общему знаменателю:
$\frac{4(t - 9) - (t - 27)}{(t - 27)(t - 9)} \geq 0$;
Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
$\frac{4t - 36 - t + 27}{(t - 27)(t - 9)} \geq 0$;
$\frac{3t - 9}{(t - 27)(t - 9)} \geq 0$.
Решим полученное рациональное неравенство относительно $t$ методом интервалов:

Из чертежа видно, что решениями для $t$ являются промежутки: $t \in [ 3 ; 9 ) \cup ( 27 ; + \infty )$.
Выполним обратный переход к переменной $x$, составив совокупность систем:
$\left[\begin{matrix} \begin{cases} t \geq 3 \\ t < 9 \end{cases} \\ t > 27 \end{matrix}\right.$
Подставим $3^x$ вместо $t$:
$\left[\begin{matrix} \begin{cases} 3^x \geq 3^1 \\ 3^x < 3^2 \end{cases} \\ 3^x > 3^3 \end{matrix}\right.$
Так как основание показательной функции $3 > 1$, знаки неравенств для показателей степеней сохраняются:
$\left[\begin{matrix} \begin{cases} x \geq 1 \\ x < 2 \end{cases} \\ x > 3 \end{matrix}\right.$
Таким образом, получаем итоговые интервалы для $x$.

Ответ: $[ 1 ; 2 ) \cup ( 3 ; + \infty )$

Источник: ФИПИ