Задание №15 — Рациональные неравенства

Решение:
Разложим числитель и знаменатель исходного неравенства на множители:
$$\frac{15^{x} - 3^{x + 1} - 5^{x + 1} + 15}{- x^{2} + 2 x} \geq 0$$ Преобразуем степени и сгруппируем слагаемые в числителе:
$$\frac{3^x \cdot 5^x - 3 \cdot 3^x - 5 \cdot 5^x + 15}{x(2 - x)} \geq 0$$ $$\frac{3^x (5^x - 3) - 5 (5^x - 3)}{-x(x - 2)} \geq 0$$ $$\frac{(5^x - 3)(3^x - 5)}{-x(x - 2)} \geq 0$$ Умножим обе части неравенства на $-1$, сменив знак неравенства, и воспользуемся методом рационализации для показательных выражений:
$$\frac{(5^x - 5^{\log_5 3})(3^x - 3^{\log_3 5})}{x(x - 2)} \leq 0$$ Так как основания степеней больше единицы ($5 > 1$ и $3 > 1$), разности $a^f - a^g$ имеют тот же знак, что и разности показателей $f - g$:
$$\frac{(x - \log_5 3)(x - \log_3 5)}{x(x - 2)} \leq 0$$ Для решения полученного рационального неравенства применим метод интервалов:

Ответ: $(0; \log_5 3] \cup [\log_3 5; 2)$

Источник: ФИПИ