Задание 16

Неравенства · 109 заданий

Задание №16
№16Лёгкое
Решите неравенство 9/(log₃ x) - log₃ (9/x) ⩽ 34/(log₃ x²).
Показат. и логарифм. нер-ва
Задание №16
№16Лёгкое
Решите неравенство log_(x + 1) (x² - 5 x + 7) ⩽ log_(x + 1) x.
Показат. и логарифм. нер-ва
Задание №16
№16Лёгкое
Решите неравенство (log₃₆ x + 1) · (1/(log₃₆ x) + 1) ⩽ log₃₆ x.
Показат. и логарифм. нер-ва
Задание №16
№16Лёгкое
Решите неравенство 4/(log₂ x) - log₂ (4/x) ⩽ 38/(log₂ x²).
Показат. и логарифм. нер-ва
Задание №16
№16Лёгкое
Решите неравенство (0,25^x - 4)/(16^x - 4^(x + 2) + 64) ⩽ 0.
Показат. и логарифм. нер-ва
Задание №16
№16Лёгкое
Решите неравенство (0,125^x - 64)/(16^x - 4^(x + 1) + 4) ⩽ 0.
Показат. и логарифм. нер-ва
Задание №16
№16Лёгкое
Решите неравенство (0,2^x - 125)/(4^x - 2^(x + 2,5) + 8) ⩽ 0.
Показат. и логарифм. нер-ва
Задание №16
№16Сложное
Решите неравенство (1,5^x - 3,375)/(0,25^x - 0,5^(x - 3,5) + 32) ⩽ 0.
Показат. и логарифм. нер-ва
Задание №16
№16Среднее
Решите неравенство (117 - 15 · 3^x)/(9^x - 36 · 3^x + 243) ⩾ 0,5.
Показат. и логарифм. нер-ва
Задание №16
№16Лёгкое
Решите неравенство (31 - 5 · 2^x)/(4^x - 24 · 2^x + 128) ⩾ 0,25.
Показат. и логарифм. нер-ва
Задание №16
№16Лёгкое
Решите неравенство (x³ - x² - x + 1)/(4^(x^2) - 16 · 2^(x^2) + 64) ⩽ 0.
Показат. и логарифм. нер-ва
Задание №16
№16Лёгкое
Решите неравенство (x³ - x² - x + 1)/(9^(x^2) - 18 · 3^(x^2) + 81) ⩽ 0.
Показат. и логарифм. нер-ва

Задание №16 — Рациональные неравенства

Показат. и логарифм. нер-ваПоказательные неравенства и монотонностьПоказательные неравенства с группировкой

Другие навыки

Ненулевой знаменательМетод интерваловКвадратные и дробно-рациональные неравенства

2 баллаФИПИСложное#22989

Решите неравенство $\frac{15^{x} - 3^{x + 1} - 5^{x + 1} + 15}{- x^{2} + 2 x} \geq 0 .$

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение:
Разложим числитель и знаменатель исходного неравенства на множители:
$\frac{15^{x} - 3^{x + 1} - 5^{x + 1} + 15}{- x^{2} + 2 x} \geq 0$ Преобразуем степени и сгруппируем слагаемые в числителе:
$\frac{3^x \cdot 5^x - 3 \cdot 3^x - 5 \cdot 5^x + 15}{x(2 - x)} \geq 0$ $\frac{3^x (5^x - 3) - 5 (5^x - 3)}{-x(x - 2)} \geq 0$ $\frac{(5^x - 3)(3^x - 5)}{-x(x - 2)} \geq 0$ Умножим обе части неравенства на $-1$ , сменив знак неравенства, и воспользуемся методом рационализации для показательных выражений:
$\frac{(5^x - 5^{\log_5 3})(3^x - 3^{\log_3 5})}{x(x - 2)} \leq 0$ Так как основания степеней больше единицы ( $5 > 1$ и $3 > 1$ ), разности $a^f - a^g$ имеют тот же знак, что и разности показателей $f - g$ :
$\frac{(x - \log_5 3)(x - \log_3 5)}{x(x - 2)} \leq 0$ Для решения полученного рационального неравенства применим метод интервалов:

Ответ: $(0; \log_5 3] \cup [\log_3 5; 2)$

Источник: ФИПИ