Решение:
а) Рассмотрим исходное уравнение: $\sin 2 x + \sqrt{2} \sin \left(x + \pi\right) = 0$.
Применим формулу синуса двойного угла и формулу приведения $\sin(x + \pi) = -\sin x$:
$2 \sin x \cos x - \sqrt{2} \sin x = 0$.
Вынесем общий множитель за скобки:
$\sin x (2 \cos x - \sqrt{2}) = 0$.
Данное уравнение распадается на два простейших:
1) $\sin x = 0$, откуда получаем серию корней $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
2) $2 \cos x - \sqrt{2} = 0 \Rightarrow \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$, что дает нам корни $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2 \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) Выполним отбор найденных решений, принадлежащих отрезку $\left[- 4 \pi ; - \frac{5 \pi}{2}\right]$.

С помощью числовой окружности определим подходящие значения:
Из первой серии это точки $-4\pi$ и $-3\pi$.
Из второй серии в указанный интервал попадает только одно значение: $- 4 \pi + \frac{\pi}{4} = - \frac{16 \pi}{4} + \frac{\pi}{4} = - \frac{15 \pi}{4}$.
Ответ: а) $\pi n, n \in \mathbb{Z}; \pm \frac{\pi}{4} + 2 \pi n, n \in \mathbb{Z};$ б) $- 4 \pi; - \frac{15 \pi}{4}; - 3 \pi$.

Источник: ФИПИ