Задание 14

Уравнения (тригонометрические, показательные, логарифмические) · 113 заданий

Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: x/(x + 2) + (x - 2)/(x - 1) - 2/(x² + x - 2) = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- 4; √(5)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Среднее
а) Решите уравнение: x/(x - 3) + (x + 3)/(x - 5) + 6/(x² - 8 x + 15) = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(2); √(2)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: 2 ((x + 2)/(2 x - 1))² - (5 x + 10)/(2 x - 1) + 2 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(20); √(8)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: (x - 2)/(x + 2) - (5 (x + 2))/(x - 2) + 6 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(6); √(6)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: (x + 5) (x - 3) (x + 3) · (x - 5) = 161. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; 6].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: (x² + 6)² - (x² + 2)² = 6 (x² - 3 x + 2). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- 2; 0].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: 36^x + 36 · 36^(- x) - 13 (6^x + 6 · 6^(- x)) + 42 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [- 2; 3].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: (√(5 + 2 √(6)))^x + (√(5 - 2 √(6)))^x = 10. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₅ 16; log₂₆ 700].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Среднее
а) Решите уравнение: log₂ x + log₃ x = log₂ x · log₃ x. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [√(5)/3; √(30)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₂ (|x - 1| + 2) = 3 - log₀,₅ (|x - 1| - 1). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [- 0,5; 2,2].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₃ x · log₃ (x³ + 4 x - 4 x - 16) = log₃ (x + 4). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₀,₅ 8; log₀,₅ 1].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₃ x · log₃ (3 x² - 4) = log₃ ((x (3 x² - 4))/3). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₅ 3; log₅ 30].
Тригонометрич. ур-я

Задание №14 — Тригонометрические уравнения. Прототипы квадратных, кубических и других уравнений

Тригонометрич. ур-яТождества в тригонометрическом уравненииПростейшие тригонометрические уравненияРазложение на множителиОтбор корней на отрезкеКомбинированные триг. уравнения

Другие навыки

Ненулевой знаменатель

2 баллаФИПИСложное#23020

а) Решите уравнение $\frac{4^{\sin 2 x} - 2^{2 \sqrt{3} \sin x}}{\sqrt{7 \sin x}} = 0$

б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку $\left[- \frac{13 \pi}{2} ; - 5 \pi\right] .$

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение:
а) Для решения уравнения сначала определим область допустимых значений, учитывая, что знаменатель дроби не может быть равен нулю:
$4^{\sin 2x} - 2^{2\sqrt{3}\sin x} \neq 0$
Проанализируем условие, при котором знаменатель обращается в ноль:

$x \in (2\pi k; \pi + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$
Приравняем показатели степеней, приведя их к одному основанию:
$4^{\sin 2x} = 4^{\sqrt{3}\sin x}$
$\sin 2x = \sqrt{3}\sin x$
Воспользуемся формулой синуса двойного угла:
$2\sin x \cos x - \sqrt{3}\sin x = 0$
Вынесем общий множитель за скобки:
$\sin x (2\cos x - \sqrt{3}) = 0$
Отсюда получаем два случая:
1) $\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$
2) $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
Сопоставив найденные значения с ОДЗ, мы видим, что условию удовлетворяет только серия корней:
$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ .
б) Выполним отбор корней, принадлежащих заданному промежутку $\left[-\frac{13\pi}{2}; -5\pi\right]$ , используя единичную окружность:

На указанном отрезке находится единственный корень:
$-6\pi + \frac{\pi}{6} = \frac{-36\pi + \pi}{6} = -\frac{35\pi}{6}$ .

Ответ: а) $\frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ ; б) $-\frac{35\pi}{6}$

Источник: ФИПИ