Решение:
а) Для решения уравнения сначала определим область допустимых значений, учитывая, что знаменатель дроби не может быть равен нулю:
$4^{\sin 2x} - 2^{2\sqrt{3}\sin x} \neq 0$
Проанализируем условие, при котором знаменатель обращается в ноль:

$x \in (2\pi k; \pi + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$
Приравняем показатели степеней, приведя их к одному основанию:
$4^{\sin 2x} = 4^{\sqrt{3}\sin x}$
$\sin 2x = \sqrt{3}\sin x$
Воспользуемся формулой синуса двойного угла:
$2\sin x \cos x - \sqrt{3}\sin x = 0$
Вынесем общий множитель за скобки:
$\sin x (2\cos x - \sqrt{3}) = 0$
Отсюда получаем два случая:
1) $\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$
2) $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
Сопоставив найденные значения с ОДЗ, мы видим, что условию удовлетворяет только серия корней:
$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
б) Выполним отбор корней, принадлежащих заданному промежутку $\left[-\frac{13\pi}{2}; -5\pi\right]$, используя единичную окружность:

На указанном отрезке находится единственный корень:
$-6\pi + \frac{\pi}{6} = \frac{-36\pi + \pi}{6} = -\frac{35\pi}{6}$.

Ответ: а) $\frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{35\pi}{6}$

Источник: ФИПИ