Разбор задачи:

Рассмотрим треугольник $BOC$. Отрезки $OC$ и $OB$ являются радиусами одной окружности, следовательно, $OC = OB$. Это означает, что треугольник $BOC$ — равнобедренный, и углы при его основании равны: $\angle OCB = \angle OBC = 59^{\circ}$.
Вычислим величину угла при вершине $O$ в этом треугольнике:
$\angle COB = 180^{\circ} - 2 \cdot 59^{\circ} = 180^{\circ} - 118^{\circ} = 62^{\circ}$.
Заметим, что углы $AOD$ и $COB$ являются вертикальными, а значит, они равны между собой.
Таким образом, искомый угол $\angle AOD = 62^{\circ}$.

Ответ: 62

Источник: ФИПИ